Duas unidades geradoras A e B operam em paralelo para atender as necessidades de energia de uma pequena cidade. A demanda de energia está sujeita a uma considerável flutuação e sabe-se que cada unidade tem capacidade em 75% dos casos de poder atender sozinha a necessidade total de energia da cidade caso a outra unidade falhe. As falhas em cada unidade ocorrem segundo uma distribuição exponencial com taxa de 0,005 falhas por dia. Supondo independência na ocorrência de falhas nas duas unidades geradoras, qual a confiabilidade do sistema para os próximos 30 dias?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Duas unidades geradoras, A e B, operam em paralelo para suprir a cidade.
  • Cada unidade, caso a outra falhe, tem probabilidade de 75\% de conseguir atender sozinha a demanda total. Vou chamar essa probabilidade de c=0{,}75.
  • As falhas em cada unidade seguem uma distribuição exponencial com taxa \lambda = 0{,}005 falhas por dia.
  • As falhas entre A e B são independentes.
  • Pergunta: qual a confiabilidade do sistema para os próximos 30 dias? Ou seja, qual a probabilidade do sistema conseguir fornecer energia durante todo o período de 30 dias?
Todas as informações relevantes acima foram extraídas do enunciado; não há figura ou dado adicional.

Passo 2

Entendendo o modelo de falha exponencial (aulas rápidas e práticas):
  • Para uma falha que segue distribuição exponencial com taxa \lambda, a função de confiabilidade (probabilidade de não falhar até o tempo t) é
R(t)=e^{-\lambda t}.
Aqui \lambda é a taxa média de falhas por unidade de tempo e t é o tempo considerado. A interpretação é: se \lambda é pequeno, é mais provável sobreviver ao intervalo; se \lambda é grande, é mais provável falhar.
  • No nosso caso, por unidade:
\lambda = 0{,}005,\qquad t=30,
logo a probabilidade de uma unidade NÃO falhar durante 30 dias é
R_1 = e^{-\lambda t} = e^{-0{,}005\cdot 30} = e^{-0{,}15}.
  • A probabilidade de uma unidade falhar pelo menos uma vez durante os 30 dias é
p = 1 - R_1 = 1 - e^{-0{,}15}.
Vou usar R_1 para a confiabilidade de uma unidade em 30 dias e p para a probabilidade de falha nessa janela.

Passo 3

Identificação dos cenários em que o sistema permanece operacional durante os 30 dias.
O sistema em paralelo fornece energia continuamente se, durante os 30 dias, ocorrer um dos seguintes eventos:
  1. Nenhuma das duas unidades falha: tanto A quanto B sobrevivem todo o período. Probabilidade: R_1^2.
  2. Exatamente uma unidade falha (durante os 30 dias) e a unidade que NÃO falhou é capaz de atender sozinha a demanda (essa capacidade ocorre com probabilidade c). Há duas maneiras (A falha e B salva; B falha e A salva). Probabilidade combinada: 2 \cdot p \cdot R_1 \cdot c.
Observação: se ambas falharem durante os 30 dias o sistema perde (não há redundância suficiente); se exatamente uma falhar e a outra não for capaz ( 1-c), também há perda. Portanto, os únicos termos de sucesso são os dois acima.

Passo 4

Escrevendo a expressão analítica da confiabilidade do sistema para 30 dias.
Com os termos identificados:
R_{\text{sistema}} = R_1^2 + 2\,p\,R_1\,c.
Substituindo p = 1-R_1 obtemos uma forma útil:
R_{\text{sistema}} = R_1^2 + 2(1-R_1)R_1 c.
Posso também rearranjar se quiser, mas essa forma já é clara: primeiro termo = nenhum falha; segundo termo = exatamente uma falha e a sobrevivente é capaz.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo (sem pular contas):
  • Primeiro calcule R_1:
R_1 = e^{-0{,}005\cdot 30} = e^{-0{,}15}.
Numericamente,
R_1 \approx 0{,}860707976.
  • Então
R_1^2 = e^{-2\cdot 0{,}005\cdot 30} = e^{-0{,}30} \approx 0{,}740818221.
  • A probabilidade de falha de uma unidade no intervalo é
p = 1-R_1 \approx 1 - 0{,}860707976 = 0{,}139292024.
  • Agora calcule o termo das situações em que exatamente uma falha ocorre e a outra dá conta:
2\,p\,R_1\,c = 2 \cdot 0{,}139292024 \cdot 0{,}860707976 \cdot 0{,}75.
Uma forma mais rápida é notar que 2pR_1c = 1{,}5\,(R_1 - R_1^2), porque pR_1 = R_1(1-R_1)=R_1-R_1^2 e 2c = 1{,}5. Calculando:
R_1 - R_1^2 \approx 0{,}860707976 - 0{,}740818221 = 0{,}119889755,
2pR_1c \approx 1{,}5 \times 0{,}119889755 = 0{,}179834633.
  • Somando os termos:
R_{\text{sistema}} \approx 0{,}740818221 + 0{,}179834633 = 0{,}920652854.
Arredondando de forma prática, a confiabilidade do sistema nos próximos 30 dias é aproximadamente 0{,}920653, ou cerca de 92{,}07\%.

Passo 6

Interpretação curta e ânimo: isso significa que, apesar de cada unidade isolada ter probabilidade de sobreviver de cerca de 86{,}07\% aos 30 dias, a redundância em paralelo combinada com a chance de uma unidade atender sozinha ( 75\%) eleva a confiabilidade do sistema para cerca de 92{,}1\%. Tá bom — você já está vendo como montar o argumento na prova: escrever R(t) para a exponencial, listar cenários de sucesso, somar probabilidades. Vai dar certo!

Resposta

0{,}920653

Exercícios relacionados