Este exercício ilustra que embora o inverso da taxa de falha seja o tempo médio de falha, esse não é o tempo quando metade da população irá falhar. Um certo tipo de componente eletrônico tem uma taxa de falha constante \square=5 \times 10^{-8} falhas por hora.
a) Qual o tempo médio de ocorrência de uma falha?
b)Qual a probabilidade deste componente eletrônico falhar após o tempo de uso determinado no item anterior?

Passo 1

O enunciado dá a taxa de falha constante \lambda=5\times10^{-8} falhas por hora e faz duas perguntas:
a) Qual o tempo médio de ocorrência de uma falha?
b) Qual a probabilidade deste componente eletrônico falhar após o tempo de uso determinado no item anterior?
Informações relevantes: a taxa de falha é constante e igual a \lambda=5\times10^{-8}\,\text{h}^{-1}. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Entendendo o que significa “taxa de falha constante” e as fórmulas que vamos usar (aula rapidinha e prática). Quando a taxa de falha é constante, a distribuição do tempo até a falha T é a distribuição exponencial. As fórmulas fundamentais são:
  • Função densidade de probabilidade (pdf): \displaystyle f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t}, para t\ge0. Aqui \lambda é a taxa de falha (falhas por hora) e t é o tempo em horas.
  • Função de sobrevivência (probabilidade de sobreviver além de t): \displaystyle S(t)=P(T>t)=e^{-\lambda t}.
  • Tempo médio (esperança) da distribuição exponencial: \displaystyle \mathbb{E}[T]=\frac{1}{\lambda}.
    Vou mostrar de onde vem a média (para você saber usar na prova):
    A média é dada por
\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty} t\,\lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Fazendo integração por partes (ou lembrando da propriedade da exponencial), resulta
\mathbb{E}[T]=\frac{1}{\lambda}.
Também é útil saber que a mediana t_{1/2} (tempo em que metade da população já falhou) satisfaz S(t_{1/2})=1/2, logo
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}.
Isso mostra, desde já, que média e mediana são diferentes (a média é \frac{1}{\lambda}, a mediana é \frac{\ln 2}{\lambda}).

Passo 3

Calculemos a resposta do item (a) usando a fórmula da média \mathbb{E}[T]=1/\lambda. Substituindo \lambda=5\times10^{-8}:
\mathbb{E}[T]=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{5\times10^{-8}}.
Faça a conta passo a passo:
\frac{1}{5\times10^{-8}}=\frac{1}{5}\times10^{8}=0{,}2\times10^{8}=2\times10^{7}.
Portanto, o tempo médio até a falha é \,2\times10^{7} horas. Se quiser uma ideia em anos, dividimos por 8760 horas/ano:
\frac{2\times10^{7}}{8760}\approx 2283{,}1\\ \text{anos}.

Passo 4

Agora o item (b): a frase pede a probabilidade de o componente “falhar após o tempo de uso determinado no item anterior”. Interpreto isso como a probabilidade de que a falha ocorra depois do tempo médio calculado em (a), isto é P(T> \mathbb{E}[T]). Usamos a função de sobrevivência:
P(T>\mathbb{E}[T])=S(\mathbb{E}[T])=e^{-\lambda \mathbb{E}[T]}.
Mas \mathbb{E}[T]=1/\lambda, então
P(T>\mathbb{E}[T])=e^{-\lambda\cdot(1/\lambda)}=e^{-1}.
Numericamente,
e^{-1}\approx 0{,}3679,
ou seja cerca de 36{,}79\%. Isso ilustra a observação do enunciado: embora o tempo médio seja \,2\times10^{7} horas, só cerca de 63{,}21\% da população terá falhado até esse tempo e 36{,}79\% ainda estarão funcionando além dele — a média não é o tempo em que metade da população falha. (Para comparação, a mediana é \displaystyle t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}\approx\frac{0{,}6931}{5\times10^{-8}}=1{,}386294\times10^{7} horas, aproximadamente 1582{,}7 anos.)

Passo 5

Resumo numérico final (preparando a resposta limpa):
  • (a) \mathbb{E}[T]=2\times10^{7} horas \approx 2283{,}1 anos.
  • (b) P(T>\mathbb{E}[T])=e^{-1}\approx0{,}3679 (ou 36{,}79\%).

Resposta

a) \mathbb{E}[T]=2\times10^{7}\\ \text{horas}\\ (\approx2283{,}1\\ \text{anos})
b) P(T>\mathbb{E}[T])=e^{-1}\approx0{,}3679

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