Este exercício ilustra que embora o inverso da taxa de falha seja o tempo médio de falha, esse não é o tempo quando metade da população irá falhar. Um certo tipo de componente eletrônico tem uma taxa de falha constante
falhas por hora.
a) Qual o tempo médio de ocorrência de uma falha?
b)Qual a probabilidade deste componente eletrônico falhar após o tempo de uso determinado no item anterior?
a) Qual o tempo médio de ocorrência de uma falha?
b)Qual a probabilidade deste componente eletrônico falhar após o tempo de uso determinado no item anterior?
Passo 1
O enunciado dá a taxa de falha constante
falhas por hora e faz duas perguntas:
a) Qual o tempo médio de ocorrência de uma falha?
b) Qual a probabilidade deste componente eletrônico falhar após o tempo de uso determinado no item anterior?
Informações relevantes: a taxa de falha é constante e igual a . A resolução começa no próximo passo.
a) Qual o tempo médio de ocorrência de uma falha?
b) Qual a probabilidade deste componente eletrônico falhar após o tempo de uso determinado no item anterior?
Informações relevantes: a taxa de falha é constante e igual a
Passo 2
Entendendo o que significa “taxa de falha constante” e as fórmulas que vamos usar (aula rapidinha e prática). Quando a taxa de falha é constante, a distribuição do tempo até a falha
é a distribuição exponencial. As fórmulas fundamentais são:
- Função densidade de probabilidade (pdf):
, para . Aqui é a taxa de falha (falhas por hora) e é o tempo em horas. - Função de sobrevivência (probabilidade de sobreviver além de
): . - Tempo médio (esperança) da distribuição exponencial:
.
Vou mostrar de onde vem a média (para você saber usar na prova):
A média é dada por
Fazendo integração por partes (ou lembrando da propriedade da exponencial), resulta
Também é útil saber que a mediana
(tempo em que metade da população já falhou) satisfaz
, logo
Isso mostra, desde já, que média e mediana são diferentes (a média é
, a mediana é
).
Passo 3
Calculemos a resposta do item (a) usando a fórmula da média
. Substituindo
:
Faça a conta passo a passo:
Portanto, o tempo médio até a falha é
horas. Se quiser uma ideia em anos, dividimos por
horas/ano:
Passo 4
Agora o item (b): a frase pede a probabilidade de o componente “falhar após o tempo de uso determinado no item anterior”. Interpreto isso como a probabilidade de que a falha ocorra depois do tempo médio calculado em (a), isto é
. Usamos a função de sobrevivência:
Mas
, então
Numericamente,
ou seja cerca de
. Isso ilustra a observação do enunciado: embora o tempo médio seja
horas, só cerca de
da população terá falhado até esse tempo e
ainda estarão funcionando além dele — a média não é o tempo em que metade da população falha. (Para comparação, a mediana é
horas, aproximadamente
anos.)
Passo 5
Resumo numérico final (preparando a resposta limpa):
- (a)
horas anos. - (b)
(ou ).
Resposta
a)
b)
b)