Duas variáveis dependentes Expresse vx em termos de u e v se as equações x = v ln u e y = u ln v definem u e v como funções das variáveis independentes x e y, e se vx existe. (Dica: Diferencie ambas as equações em relação a x e resolva vx eliminando u_x.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas equações que relacionam as variáveis e com e :
Nosso objetivo é encontrar , ou seja, a derivada parcial de em relação a . Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas implícitas, já que e estão definidos de forma implícita pelas equações. Vamos precisar diferenciar ambas as equações em relação a e depois resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a primeira equação em relação a . Lembre-se que e são funções de e , então precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia:
Aqui, é a derivada de em relação a , e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos diferenciar a segunda equação em relação a :
Note que é considerada constante em relação a aqui, por isso a derivada de em relação a é zero.

Passo 4

Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):
Vamos resolver esse sistema para encontrar . Primeiro, da segunda equação, isolamos :
Agora, substituímos na primeira equação:
Fatoramos :

Resposta

Resolvendo para , temos:
Então, a derivada parcial em termos de e é:

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