Duas variáveis dependentes Expresse
em termos de
e
se as equações
e
definem
e
como funções das variáveis independentes
e
, e se
existe. (Dica: Diferencie ambas as equações em relação a
e resolva
eliminando
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas equações que relacionam as variáveis
e
com
e
:
Nosso objetivo é encontrar
, ou seja, a derivada parcial de
em relação a
. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas implícitas, já que
e
estão definidos de forma implícita pelas equações. Vamos precisar diferenciar ambas as equações em relação a
e depois resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a primeira equação
em relação a
. Lembre-se que
e
são funções de
e
, então precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar a segunda equação
em relação a
:
Note que
é considerada constante em relação a
aqui, por isso a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 4
Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Vamos resolver esse sistema para encontrar
. Primeiro, da segunda equação, isolamos
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Fatoramos
:
Resposta
Resolvendo para
, temos:
Então, a derivada parcial
em termos de
e
é: