A usina hidrelétrica de Itaipu é uma obra conjunta do Brasil e do Paraguai que envolve números gigantescos. A potência média teórica chega a 12600 MW quando 18 unidades geradoras operam conjuntamente, cada qual com uma vazão próxima de 700 \mathrm{~m}^{3} por segundo. Suponha que a água da represa adentre as tubulações que conduzem o líquido às turbinas com velocidade praticamente nula e admita que os geradores aproveitem praticamente 100 \% da energia hídrica disponível. Adotando para a aceleração da gravidade o valor 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e sabendo que a densidade da água é igual a 1,0 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, determine o desnível entre as bocas das tubulações e suas bases, onde estão instaladas as turbinas das unidades geradoras.

Passo 1

O enunciado diz que a usina gera em média P=12600\:\mathrm{MW} quando as 18 turbinas operam juntas, cada uma com vazão Q_{\text{uni}}\approx700\:\mathrm{m^3/s}. Admitimos velocidade de entrada desprezível e aproveitamento de 100\% da energia potencial da água. Vamos usar a conservação de energia (potência hidráulica) para relacionar P, a vazão total Q, a densidade \rho, a gravidade g e o desnível h.

Passo 2

Calculamos primeiro a vazão total de todas as unidades:
Q = 18\times Q_{\text{uni}} =18\times700\:\mathrm{m^3/s} =12600\:\mathrm{m^3/s}.

Passo 3

A taxa de massa de água que passa pelas turbinas é
\dot m = \rho\,Q =1{,}0\times10^3\:\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\times12600\:\mathrm{m^3/s} =1{,}26\times10^7\:\mathrm{kg/s}.

Passo 4

A potência hidráulica disponível (inteiramente convertida em elétrica) é
P = \dot m\,g\,h.
Isolando h, temos
h = \frac{P}{\dot m\,g}.

Passo 5

Substituindo P=12600\:\mathrm{MW}=1{,}26\times10^{10}\:\mathrm{W}, \dot m=1{,}26\times10^7\:\mathrm{kg/s} e g=10\:\mathrm{m/s^2},
h = \frac{1{,}26\times10^{10}}{1{,}26\times10^7\times10} =100\:\mathrm{m}.

Resposta

O desnível entre a superfície da represa e as turbinas é de aproximadamente 100\:\mathrm{m}.

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