1. Seja f(x)=\left\{\begin{array}{c}k x, 0<x \leq 1 \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.á
    a) Determine o valor k de modo que \mathrm{f}(\mathrm{x}) seja uma f.d.p. [k=2]
    b) \mathrm{P}(0 \leq \mathrm{x} \leq 1 / 2) \quad[1 / 4]

Passo 1

O enunciado define uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) em pedaços:
f(x) = \begin{cases} k\,x, & 0 < x \le 1,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á
Queremos (a) achar k para normalizar a densidade e (b) calcular \mathrm{P}(0 \le x \le 1/2). Para isso, vamos usar a condição de normalização de f.d.p. e propriedade de integral de probabilidade em intervalos.

Passo 2

Para que f seja f.d.p., deve valer
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = 1.
Como f(x)=0 fora de (0,1], isso reduz a
\int_{0}^{1} k\,x \,\mathrm{d}x = 1.
Calculando a integral, temos
\int_{0}^{1} k\,x \,\mathrm{d}x = k \int_{0}^{1} x \,\mathrm{d}x = k \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{k}{2}.
Logo a condição de normalização dá
\frac{k}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad k = 2.

Passo 3

Com k=2, a f.d.p. fica f(x)=2x para 0<x\le1. A probabilidade de x estar em [0,\,\tfrac12] é
\mathrm{P}\bigl(0 \le x \le \tfrac12\bigr) = \int_{0}^{1/2} 2x \,\mathrm{d}x = 2 \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1/2} = \left[x^{2}\right]_{0}^{1/2} = \bigl(\tfrac12\bigr)^{2} = \tfrac{1}{4}.

Resposta

(a) k = 2
(b) \mathrm{P}(0 \le x \le 1/2) = \tfrac{1}{4}

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