A duração de certo componente eletrônico tem média 850 dias e desvio padrão 45 dias.
Qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor 5 % dos componentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um componente eletrônico cuja duração média é de 850 dias, com um desvio padrão de 45 dias. O problema quer saber quantos dias são necessários para que a gente precise substituir 5% desses componentes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente a distribuição normal, que ajuda a gente a entender como os dados se distribuem em torno da média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a duração dos componentes segue uma distribuição normal, que é aquela curva em forma de sino onde a maioria dos valores fica próxima da média, e poucos ficam bem longe dela. A média é 850 dias e o desvio padrão é 45 dias. A gente quer encontrar o valor de dias onde apenas 5% dos componentes têm uma duração menor ou igual a esse número. Isso significa que 95% dos componentes duram mais do que esse tempo.

Passo 3

Para encontrar esse valor, a gente precisa usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora que consiga nos dar o percentil desejado. O percentil que precisamos é o 5%, então vamos buscar o z-score correspondente a 5%.

Passo 4

O z-score é uma medida que nos mostra quantos desvios padrões um valor está acima ou abaixo da média. Para o 5º percentil, o z-score é aproximadamente -1,645. Esse valor nos diz que o ponto que separa os 5% inferiores está 1,645 desvios padrões abaixo da média.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula para converter o z-score de volta para o valor original dos dias:
x = mu + z times sigma
Onde:
  • $ \mu $ é a média (850 dias)
  • $ z $ é o z-score (-1,645)
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (45 dias)

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
x = 850 + (-1,645) times 45
x = 850 - 74,025
x approx 775,975

Resposta

Portanto, precisamos definir um número de dias de aproximadamente 776 dias. Assim, cerca de 5% dos componentes terão durado até esse tempo e precisarão ser substituídos.

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