Em uma grande empresa, o departamento de manutenção tem instruções para substituir as lâmpadas antes que se queimem (não esperar que queimem para então substituí -las). Os registros indicam que a duração das lâmpadas tem distribuição
(horas). Quando devem ser substituídas as lâmpadas de modo que no máximo
delas queimem antes de serem trocadas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão trata da duração das lâmpadas em uma empresa, que segue uma distribuição normal com média de 900 horas e desvio padrão de 75 horas. A missão aqui é descobrir em quanto tempo devemos trocar as lâmpadas para que no máximo 10% delas queimem antes da substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e da tabela Z.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição normal
. Isso quer dizer que a média das durações das lâmpadas é de 900 horas e o desvio padrão é de 75 horas. A distribuição normal é simétrica e segue a famosa curva em forma de sino.
Passo 3
Queremos encontrar o tempo
em que apenas 10% das lâmpadas queimem antes de serem trocadas. Isso equivale a encontrar o valor de
tal que a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de
seja 0,10, ou seja,
.
Passo 4
Para achar esse valor, vamos padronizar a variável usando a fórmula da variável Z:
Onde:
-
é o tempo que queremos encontrar ( ), -
horas, -
horas.
Então, temos:
Passo 5
Consultando a tabela da distribuição normal padrão (Tabela Z), procuramos o valor de
que corresponde a uma área de 0,10 à esquerda. Esse valor é aproximadamente
.
Passo 6
Agora, substituímos o valor de
na equação:
Resolvendo para
:
Resposta
As lâmpadas devem ser substituídas após 804 horas para que no máximo 10% delas queimem antes da troca.