Em uma grande empresa, o departamento de manutenção tem instruções para substituir as lâmpadas antes que se queimem (não esperar que queimem para então substituí -las). Os registros indicam que a duração das lâmpadas tem distribuição N(900 ; 75) (horas). Quando devem ser substituídas as lâmpadas de modo que no máximo 10 % delas queimem antes de serem trocadas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata da duração das lâmpadas em uma empresa, que segue uma distribuição normal com média de 900 horas e desvio padrão de 75 horas. A missão aqui é descobrir em quanto tempo devemos trocar as lâmpadas para que no máximo 10% delas queimem antes da substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e da tabela Z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição normal N(900; 75). Isso quer dizer que a média das durações das lâmpadas é de 900 horas e o desvio padrão é de 75 horas. A distribuição normal é simétrica e segue a famosa curva em forma de sino.

Passo 3

Queremos encontrar o tempo t em que apenas 10% das lâmpadas queimem antes de serem trocadas. Isso equivale a encontrar o valor de t tal que a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de t seja 0,10, ou seja, P(X < t) = 0,10.

Passo 4

Para achar esse valor, vamos padronizar a variável usando a fórmula da variável Z:
Z = X - musigma
Onde:
  • X é o tempo que queremos encontrar ( t),
  • mu = 900 horas,
  • sigma = 75 horas.
Então, temos:
P(Z < t - 90075) = 0,10

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal padrão (Tabela Z), procuramos o valor de Z que corresponde a uma área de 0,10 à esquerda. Esse valor é aproximadamente Z = -1,28.

Passo 6

Agora, substituímos o valor de Z na equação:
-1,28 = t - 90075
Resolvendo para t:
t - 900 = -1,28 times 75
t - 900 = -96
t = 900 - 96
t = 804 horas

Resposta

As lâmpadas devem ser substituídas após 804 horas para que no máximo 10% delas queimem antes da troca.

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