Um sistema de filas telefônicas tem uma taxa média de chegada de chamadas de 10 chamadas por hora.
Determine x tal que a probabilidade de nenhuma chamada ocorrer em um intervalo de x horas seja igual a 0,01.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que chega em média 10 chamadas por hora num sistema de filas telefônicas. A gente quer achar um tempo P(N=0) = e^-lambda x (em horas) tal que a probabilidade de nenhuma chamada ocorrer em horas seja 0,01.
Conteúdo: processo de Poisson e distribuição de Poisson (ou, equivalentemente, tempo de espera exponencial). Vamos usar que, num processo de Poisson com taxa , a probabilidade de 0 ocorrências em intervalo de tamanho é

Passo 2

Primeiro a gente escreve a equação que vem direto da distribuição de Poisson para zero eventos:
P(N=0) = e^-lambda x = 0,01,
onde chamadas por hora.

Passo 3

Agora isolamos e^-10x = 0,01 Longrightarrow -10x = ln(0,01) . Tomamos logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 4

Daí é só resolver para x = -ln(0,01)10 :

Passo 5

Calcular numericamente:
ln(0,01) = ln(10^-2) = -2ln(10) approx -2 times 2,3026 = -4,6052,
então
x = --4,605210 = 0,46052 horas

Resposta

horas (cerca de 27,6 minutos).

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