A duração de vida de uma lâmpada distribuição exponencial com média igual a 10 meses, ou com a intensidade A=1 / 10. Qual ’ e a probabilidade de que a lâmpada dure mais do que 15 meses? Qual é a probabilidade de que ela dure mais do que 15 meses se depois de 10 meses, ela ainda está funcionando? (Exponenual)

Passo 1

O enunciado diz que a vida X de uma lâmpada segue distribuição exponencial com média igual a 10 meses. Para exponencial, a média é \mu = 1/\lambda, logo
\lambda = \frac{1}{10}.
Precisamos calcular a probabilidade de que a lâmpada dure mais de 15 meses, isto é \mathbb{P}(X>15), e a probabilidade condicional \mathbb{P}(X>15\mid X>10).

Passo 2

Lembrando que a função de sobrevivência (cauda) de uma variável exponencial é
\mathbb{P}(X>t) = e^{-\lambda t}.
Como \lambda = 1/10, temos
\mathbb{P}(X>t) = e^{-t/10}.

Passo 3

Para t=15,
\mathbb{P}(X>15) = e^{-15/10} = e^{-1{,}5}.
Numericamente,
e^{-1{,}5}\approx 0{,}2231.

Passo 4

A distribuição exponencial é memória-livre, ou seja,
\mathbb{P}(X>15\mid X>10) = \mathbb{P}(X>15-10) = \mathbb{P}(X>5).
Logo
\mathbb{P}(X>5) = e^{-5/10} = e^{-0{,}5}\approx 0{,}6065.

Resposta

\mathbb{P}(X>15)=e^{-1{,}5}\approx0{,}2231 \mathbb{P}(X>15\mid X>10)=e^{-0{,}5}\approx0{,}6065

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