O número de mensagens de e-mail enviadas por um computador servidor segue uma distribuição de Poisson com uma média de 6 por minuto. Determine a probabilidade de exatamente 20 mensagens serem recebidas nos próximos 3 minutos.

Passo 1

O enunciado diz que o número de mensagens enviadas por minuto segue uma distribuição de Poisson com média \lambda=6 e pede a probabilidade de receber exatamente 20 mensagens em um intervalo de 3 minutos.

Passo 2

Para um processo de Poisson com taxa \lambda por unidade de tempo, o número de eventos em um intervalo de duração t é \mathrm{Pois}(\lambda t). Aqui temos \lambda=6 e t=3, então o parâmetro passa a ser
\lambda_{\text{total}} = 6 \times 3 = 18.

Passo 3

A fórmula da Poisson diz que, se N\sim \mathrm{Pois}(\lambda_{\text{total}}), então
P(N = k) = e^{-\lambda_{\text{total}}}\,\frac{\lambda_{\text{total}}^{k}}{k!}.

Passo 4

Substituindo k=20 e \lambda_{\text{total}}=18, obtemos
P(N=20) = e^{-18}\,\frac{18^{20}}{20!}.

Resposta

P(N=20) = e^{-18}\,\frac{18^{20}}{20!}.

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