7^{\underline{\mathrm{a}}} QUESTÃO

Uma empresa de engenharia fabrica sensores de pressão utilizados em sistemas hidráulicos. O departamento de vendas observou que, ao vender cada sensor por p reais, a quantidade mensal vendida é dada por:
\mathrm{q}(p)=1000-20 \cdot p
A receita mensal da empresa, em função do preço p, é dada por:
\mathrm{R}(p)=p . \mathrm{q}(p)
Determine o valor de p que maximiza a receita mensal da empresa:

ALTERNATIVAS

\mathrm{R} \ 20,00 . R\$ 25,00. R\$ 30,00. \(\mathrm{R} \\) 35,00.
R$ 40,00.

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes e faz uma pergunta clara.\n
  • Informação 1: a quantidade vendida por mês quando o preço é p reais é \mathrm{q}(p)=1000-20\cdot p.\n
  • Informação 2: a receita mensal em função do preço é \mathrm{R}(p)=p\cdot \mathrm{q}(p).\n
  • Pergunta: determinar o valor de p que maximiza a receita mensal.\n
    Eu anotei tudo isso para não nos perdermos: precisamos achar o preço p que torna \mathrm{R}(p) o maior possível.

Passo 2

Primeiro vamos escrever \mathrm{R}(p) só em função de p, substituindo \mathrm{q}(p) dentro de \mathrm{R}(p).\n
\mathrm{R}(p)=p\cdot\mathrm{q}(p)=p\cdot(1000-20\cdot p)\n
Agora desenvolvendo a multiplicação (distribuindo p sobre os termos):\n
\mathrm{R}(p)=1000p-20p^{2}\n
Aqui temos uma função quadrática em p. Vamos entender a forma dela: é do tipo \mathrm{R}(p)=ap^{2}+bp+c com a=-20, b=1000 e c=0. Como a<0, essa parábola é virada para baixo, isto é, tem um único ponto máximo (o vértice). Podemos achar esse máximo usando cálculo (derivada) ou diretamente a fórmula do vértice. Vou usar a derivada porque ela é direta e didática.

Passo 3

Pequena aula de derivada (do jeitinho prático): a derivada \mathrm{R}'(p) dá a taxa de variação da receita quando mudamos um pouquinho o preço. Em termos de regras:
  • A derivada de kp (com k constante) é k.\n
  • A derivada de p^{2} é 2p (regra do expoente: “desce o expoente e diminui 1”).\n
    Aplicando isso a \mathrm{R}(p)=1000p-20p^{2}, temos:\n
\mathrm{R}'(p)=1000-40p\n
Expliquei: derivada de 1000p é 1000; derivada de -20p^{2} é -20\cdot 2p=-40p.

Passo 4

Para encontrar extremos (máximos ou mínimos) de uma função diferenciável, procuramos pontos críticos onde \mathrm{R}'(p)=0. Então resolvemos:\n
1000-40p=0\n
Isolando p:\n
40p=1000\n
p=\dfrac{1000}{40}\n
Agora faça a divisão: \dfrac{1000}{40}=\dfrac{1000}{40}=25. Logo o ponto crítico é \;p=25\; (reais).

Passo 5

Agora precisamos confirmar que esse ponto crítico é um máximo e não um mínimo. Para isso podemos usar a segunda derivada (teste da segunda derivada):\n
\mathrm{R}''(p)=\dfrac{d}{dp}(1000-40p)=-40\n
Como \mathrm{R}''(p)=-40<0, a função é côncava para baixo em todo ponto, e o ponto crítico encontrado é, de fato, um máximo.\n
(Outra visão intuitiva: já vimos que a parábola tem coeficiente a=-20<0, então ela abre para baixo e o vértice é máximo.)

Passo 6

Como verificação adicional (opcional), podemos calcular a receita no preço p=25:\n
\mathrm{R}(25)=1000\cdot 25-20\cdot 25^{2}=25000-20\cdot 625=25000-12500=12500\n
Isso mostra que a receita máxima é \mathrm{R}=12500 reais quando p=25 reais. Mas a pergunta pedia apenas o valor de p que maximiza a receita, que é 25.

Resposta

\text{R\$ }25{,}00

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