QUESTÃO
Uma empresa de engenharia fabrica sensores de pressão utilizados em sistemas hidráulicos. O departamento de vendas observou que, ao vender cada sensor por
reais, a quantidade mensal vendida é dada por:
A receita mensal da empresa, em função do preço p, é dada por:
Determine o valor de
que maximiza a receita mensal da empresa:
ALTERNATIVAS
20,00
.
R$ 40,00.
R$ 40,00.
Passo 1
O enunciado dá duas informações importantes e faz uma pergunta clara.\n
- Informação 1: a quantidade vendida por mês quando o preço é
reais é .\n - Informação 2: a receita mensal em função do preço é
.\n - Pergunta: determinar o valor de
que maximiza a receita mensal.\n
Eu anotei tudo isso para não nos perdermos: precisamos achar o preçoque torna o maior possível.
Passo 2
Primeiro vamos escrever
só em função de
, substituindo
dentro de
.\n
Agora desenvolvendo a multiplicação (distribuindo
sobre os termos):\n
Aqui temos uma função quadrática em
. Vamos entender a forma dela: é do tipo
com
,
e
. Como
, essa parábola é virada para baixo, isto é, tem um único ponto máximo (o vértice). Podemos achar esse máximo usando cálculo (derivada) ou diretamente a fórmula do vértice. Vou usar a derivada porque ela é direta e didática.
Passo 3
Pequena aula de derivada (do jeitinho prático): a derivada
dá a taxa de variação da receita quando mudamos um pouquinho o preço. Em termos de regras:
- A derivada de
(com constante) é .\n - A derivada de
é (regra do expoente: “desce o expoente e diminui 1”).\n
Aplicando isso a, temos:\n
Expliquei: derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 4
Para encontrar extremos (máximos ou mínimos) de uma função diferenciável, procuramos pontos críticos onde
. Então resolvemos:\n
Isolando
:\n
Agora faça a divisão:
. Logo o ponto crítico é
(reais).
Passo 5
Agora precisamos confirmar que esse ponto crítico é um máximo e não um mínimo. Para isso podemos usar a segunda derivada (teste da segunda derivada):\n
Como
, a função é côncava para baixo em todo ponto, e o ponto crítico encontrado é, de fato, um máximo.\n
(Outra visão intuitiva: já vimos que a parábola tem coeficiente , então ela abre para baixo e o vértice é máximo.)
(Outra visão intuitiva: já vimos que a parábola tem coeficiente
Passo 6
Como verificação adicional (opcional), podemos calcular a receita no preço
:\n
Isso mostra que a receita máxima é
reais quando
reais. Mas a pergunta pedia apenas o valor de
que maximiza a receita, que é
.