O lim x 1 sen(x-1)^2(x^2-4 x+4) tg(x^2-1) é igual a

Passo 1

O enunciado pede
limxto1senl((x-1)^2r)l(x^2-4x+4r)tgl(x^2-1r)
Aqui vemos que quando xto1 o numerador vai a sen(0)=0 e o denominador a ,(1^2-4cdot1+4)=1 timestg(0)=0, ou seja, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Vamos usar a aproximação de pequenos ângulos para resolver.

Passo 2

Defina h = x-1. Então x = 1+h e hto0. Reescrevendo cada parte em função de h:
(x-1)^2 = h^2, x^2-4x+4 = (x-2)^2 = l((1+h)-2r)^2 = (h-1)^2, x^2-1 = (1+h)^2-1 = 2h + h^2

Passo 3

Para o numerador usamos sen(u)approx u quando u é pequeno:
senl(h^2r)approx h^2

Passo 4

Para a tangente usamos tg(v)approx v quando v é pequeno:
tgl(2h + h^2r)approx 2h + h^2
E notamos que (h-1)^2 = 1 -2h + h^2approx1 quando hto0.

Passo 5

Substituindo as aproximações na fração original:
senl(h^2r)(h-1)^2;tg(2h+h^2) approx h^2;1;cdot(2h + h^2); = h^22h + h^2 = h^2h,(2 + h) = h2 + h

Passo 6

Agora basta tomar o limite quando hto0:
limhto0h2 + h = 0

Resposta

0

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