Durante a execução de uma laje pré-moldada, três conjuntos de materiais foram temporariamente armazenados sobre a superficie de trabalho. O engenheiro precisa verificar se o centro de massa dos materiais está bem posicionado para evitar sobrecarga localizada. Os conjuntos de materiais e suas respectivas posições são: (A) blocos cerâmicos, com massa total de 600 kg , posicionados em (
); (B) paletes de cimento com massa total de 900 kg , posicionados em
barricas de argamassa com massa total de 300 kg , posicionadas em
m ). Determine a posição do centro de massa dos materiais sobre a laje. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a posição do centro de massa dos materiais armazenados sobre a laje. Dados fornecidos (peguei as posições e massas do enunciado):
A. Blocos cerâmicos: massa total
, posição
.
B. Paletes de cimento: massa total , posição
.
C. Barricas de argamassa: massa total , posição
.
B. Paletes de cimento: massa total
C. Barricas de argamassa: massa total
A pergunta é: qual é a posição do centro de massa
desses três conjuntos de materiais sobre a laje?
Passo 2
Vamos aprender a fórmula que usamos: quando temos um conjunto de massas puntiformes (ou massas concentradas) em posições conhecidas, o centro de massa é a média ponderada das coordenadas, ponderada pelas massas. A fórmula é
onde:
-
é a massa do i-ésimo conjunto (em kg), -
e são as coordenadas (em m) da i-ésima massa, -
é a massa total do sistema (em kg), -
e são as coordenadas do centro de massa (em m).
Intuição rápida: cada massa “puxa” o centro para sua posição; massas maiores puxam mais — por isso média ponderada.
Passo 3
Calculemos primeiro a massa total
:
Agora efetuo a soma:
Passo 4
Calculemos
. Primeiro o numerador
:
Faço cada multiplicação:
Somando:
Agora aplico a fórmula:
Simplifico a fração (dividindo numerador e denominador por
):
Como decimal:
Passo 5
Calculemos
. Primeiro o numerador
:
Faço cada multiplicação:
Somando:
Agora aplico a fórmula:
Passo 6
Interpretação e checagem rápida: o centro de massa ficou em
(aprox.
) e
. Faz sentido: o valor de
ficou em
porque os valores de
das massas (2,0; 1,0; 5,0) com suas massas resultaram nessa média ponderada. O centro está mais próximo das posições com maiores massas (os paletes de cimento de 900 kg puxam o centro na direção
e
, os blocos de 600 kg puxam para
).
Você pode usar esse procedimento na prova: somar
, somar
, dividir cada soma pela massa total. Respira, confia e manda ver.