Durante a execução de uma laje pré-moldada, três conjuntos de materiais foram temporariamente armazenados sobre a superficie de trabalho. O engenheiro precisa verificar se o centro de massa dos materiais está bem posicionado para evitar sobrecarga localizada. Os conjuntos de materiais e suas respectivas posições são: (A) blocos cerâmicos, com massa total de 600 kg , posicionados em ( 6,0 \mathrm{~m}, 2,0 \mathrm{~m} ); (B) paletes de cimento com massa total de 900 kg , posicionados em (2,0 \mathrm{~m}, 1,0 \mathrm{~m}) \mathrm{e}(\mathrm{C}) barricas de argamassa com massa total de 300 kg , posicionadas em (4,0 \mathrm{~m}, 5,0 m ). Determine a posição do centro de massa dos materiais sobre a laje. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a posição do centro de massa dos materiais armazenados sobre a laje. Dados fornecidos (peguei as posições e massas do enunciado):
A. Blocos cerâmicos: massa total \,600\\ \text{kg}, posição \,(6{,}0\\ \text{m},\;2{,}0\\ \text{m}).
B. Paletes de cimento: massa total \,900\\ \text{kg}, posição \,(2{,}0\\ \text{m},\;1{,}0\\ \text{m}).
C. Barricas de argamassa: massa total \,300\\ \text{kg}, posição \,(4{,}0\\ \text{m},\;5{,}0\\ \text{m}).
A pergunta é: qual é a posição do centro de massa (x_{cm},y_{cm}) desses três conjuntos de materiais sobre a laje?

Passo 2

Vamos aprender a fórmula que usamos: quando temos um conjunto de massas puntiformes (ou massas concentradas) em posições conhecidas, o centro de massa é a média ponderada das coordenadas, ponderada pelas massas. A fórmula é
x_{cm}=\frac{\sum_{i} m_i x_i}{\sum_{i} m_i}
y_{cm}=\frac{\sum_{i} m_i y_i}{\sum_{i} m_i}
onde:
  • m_i é a massa do i-ésimo conjunto (em kg),
  • x_i e y_i são as coordenadas (em m) da i-ésima massa,
  • \sum_i m_i é a massa total do sistema (em kg),
  • x_{cm} e y_{cm} são as coordenadas do centro de massa (em m).
Intuição rápida: cada massa “puxa” o centro para sua posição; massas maiores puxam mais — por isso média ponderada.

Passo 3

Calculemos primeiro a massa total M:
M=\sum_i m_i = 600 + 900 + 300 \\ \text{kg}
Agora efetuo a soma:
M = 600 + 900 + 300 = 1800\\ \text{kg}

Passo 4

Calculemos \,x_{cm}\,. Primeiro o numerador \sum_i m_i x_i:
\sum_i m_i x_i = 600\cdot 6{,}0 + 900\cdot 2{,}0 + 300\cdot 4{,}0
Faço cada multiplicação:
600\cdot 6{,}0 = 3600\\ \text{kg}\cdot\text{m}
900\cdot 2{,}0 = 1800\\ \text{kg}\cdot\text{m}
300\cdot 4{,}0 = 1200\\ \text{kg}\cdot\text{m}
Somando:
\sum_i m_i x_i = 3600 + 1800 + 1200 = 6600\\ \text{kg}\cdot\text{m}
Agora aplico a fórmula:
x_{cm}=\frac{6600}{1800}
Simplifico a fração (dividindo numerador e denominador por 600):
x_{cm}=\frac{6600\div 600}{1800\div 600}=\frac{11}{3}\\ \text{m}
Como decimal:
x_{cm}=3{,}666\ldots\\ \text{m}\approx 3{,}667\\ \text{m}

Passo 5

Calculemos \,y_{cm}\,. Primeiro o numerador \sum_i m_i y_i:
\sum_i m_i y_i = 600\cdot 2{,}0 + 900\cdot 1{,}0 + 300\cdot 5{,}0
Faço cada multiplicação:
600\cdot 2{,}0 = 1200\\ \text{kg}\cdot\text{m}
900\cdot 1{,}0 = 900\\ \text{kg}\cdot\text{m}
300\cdot 5{,}0 = 1500\\ \text{kg}\cdot\text{m}
Somando:
\sum_i m_i y_i = 1200 + 900 + 1500 = 3600\\ \text{kg}\cdot\text{m}
Agora aplico a fórmula:
y_{cm}=\frac{3600}{1800} = 2{,}0\\ \text{m}

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: o centro de massa ficou em \,x_{cm}=\frac{11}{3}\\ \text{m} (aprox. 3{,}667\\ \text{m}) e \,y_{cm}=2{,}0\\ \text{m}. Faz sentido: o valor de y_{cm} ficou em 2{,}0\\ \text{m} porque os valores de y das massas (2,0; 1,0; 5,0) com suas massas resultaram nessa média ponderada. O centro está mais próximo das posições com maiores massas (os paletes de cimento de 900 kg puxam o centro na direção x=2{,}0 e y=1{,}0, os blocos de 600 kg puxam para x=6{,}0).
Você pode usar esse procedimento na prova: somar m_i x_i, somar m_i y_i, dividir cada soma pela massa total. Respira, confia e manda ver.

Resposta

\left(\dfrac{11}{3}\\ \text{m},\;2{,}0\\ \text{m}\right)

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