Durante o funcionamento da pilha de Daniell, \mathrm{Zn} / \mathrm{ZnSO} 4\left(10^{-4} \mathrm{~m}\right) / / \mathrm{CuSO} 4\left(10^{-3}\right. \mathrm{m}) / \mathrm{Cu}, a 25^{\circ} \mathrm{C}, em 57 segundos a massa do catodo aumenta de 12,1 \mathrm{mg}. Determinar: a) a variação da massa do anodo; b) a variação da função de Gibbs da reação da pilha em Joules; c) a intensidade média da corrente elétrica gerada pela pilha; d) a potência média da pilha. Admitir que o processo é reversível. Massas atômicas: do \mathrm{Cu}=63,54 ; do \mathrm{Zn}= 65,37.

Passo 1

O enunciado nos dá a pilha de Daniell funcionando à 25^\circ\mathrm{C} com as concentrações:
  • eletrodo de zinco/anódo: \mathrm{Zn} / \mathrm{ZnSO}_4\bigl(10^{-4}\\ \mathrm{m}\bigr),
  • eletrodo de cobre/cátodo: \mathrm{CuSO}_4\bigl(10^{-3}\\ \mathrm{m}\bigr) / \mathrm{Cu}.
Dados numéricos fornecidos:
  • tempo de funcionamento: 57\\ \mathrm{s};
  • aumento de massa do cátodo (depósito de cobre): 12,1\\ \mathrm{mg};
  • massas atômicas: \mathrm{Cu}=63,54, \mathrm{Zn}=65,37 (unidades: \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1});
  • temperatura: 25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
O que o enunciado pede:
(a) variação da massa do anôdo (quanto o anôdo de Zn diminui em massa);
(b) variação da energia livre de Gibbs da reação da pilha, em Joules;
(c) intensidade média da corrente elétrica gerada pela pilha;
(d) potência média da pilha.
Observação: admitir que o processo é reversível (logo a força eletromotriz da pilha relaciona-se diretamente com \Delta G por \Delta G=-nFE).

Passo 2

Primeiro passo de cálculo: converter a massa de cobre depositada em mols de cobre. Explicação didática: quando um átomo de cobre metálico se deposita, estamos convertendo íons \mathrm{Cu}^{2+} em \mathrm{Cu(s)}; a relação massa ⇄ mol usa a massa atômica.
Converter 12,1\\ \mathrm{mg} para gramas:
12{,}1\\ \mathrm{mg}=0{,}0121\\ \mathrm{g}.
Número de mols de cobre depositados:
n_{\mathrm{Cu}}=\dfrac{0{,}0121}{63{,}54}\\ \mathrm{mol}.
Calculemos:
n_{\mathrm{Cu}} \approx 0{,}0001905\\ \mathrm{mol}.
Comentário didático: esse é o número de átomos de cobre (em escala molar) que passaram do íon \mathrm{Cu}^{2+} para o metal no cátodo.

Passo 3

Ligação estequiométrica entre anodo e cátodo (explicação didática): a reação global da pilha é
\mathrm{Zn(s)} + \mathrm{Cu^{2+}(aq)} \longrightarrow \mathrm{Zn^{2+}(aq)} + \mathrm{Cu(s)}.
Nessa reação cada mol de \mathrm{Cu} formado corresponde a 1 mol de \mathrm{Zn} oxidado (razão 1:1). Portanto os mols de \mathrm{Zn} que saem do anôdo são iguais aos mols de \mathrm{Cu} depositados:
n_{\mathrm{Zn}}=n_{\mathrm{Cu}}.
Variação da massa do anôdo (perda de massa de Zn):
\Delta m_{\mathrm{anodo}} = -\,n_{\mathrm{Zn}}\times M_{\mathrm{Zn}},
onde M_{\mathrm{Zn}} é a massa atômica do zinco.
Calculando:
\Delta m_{\mathrm{anodo}} = -\,0{,}0001905\times 65{,}37\\ \mathrm{g} \approx -0{,}01245\\ \mathrm{g}.
Converter para mg (mais conveniente para comparação com o dado do cátodo):
\Delta m_{\mathrm{anodo}}\approx -12{,}45\\ \mathrm{mg}.
Interpretação: o anôdo perde aproximadamente 12{,}45\\ \mathrm{mg} (sinal negativo indica perda de massa).

Passo 4

Agora determinamos a quantidade de carga elétrica envolvida (explicação didática: cada átomo de Cu depositado consome 2 elétrons porque \mathrm{Cu}^{2+}+2\mathrm{e}^- \to \mathrm{Cu}). Portanto o número de mols de elétrons transferidos é
n_{e^-}=2\,n_{\mathrm{Cu}}.
Calculando:
n_{e^-}=2\times 0{,}0001905 \approx 0{,}0003810\\ \mathrm{mol}.
A carga total transferida é Q=n_{e^-}\,F, onde F é a constante de Faraday. Valor prático:
F=96485\\ \mathrm{C}\,\mathrm{mol}^{-1}.
Portanto:
Q = 0{,}0003810\times 96485\\ \mathrm{C} \approx 36{,}76\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Intensidade média da corrente elétrica (explicação didática): corrente média é carga total dividida pelo tempo:
I_{\mathrm{média}}=\dfrac{Q}{\Delta t}.é
Com Q\approx 36{,}76\\ \mathrm{C} e \Delta t=57\\ \mathrm{s}:
I_{\mathrm{média}}\approx \dfrac{36{,}76}{57}\\ \mathrm{A}\approx 0{,}645\\ \mathrm{A}.é

Passo 6

Determinar a força eletromotriz (ddp) da pilha usando a equação de Nernst (explicação didática):
  • potenciais-padrão (valores tabelados, adotados aqui): E^\circ_{\mathrm{Cu^{2+}/Cu}}=+0{,}337\\ \mathrm{V},\qquad E^\circ_{\mathrm{Zn^{2+}/Zn}}=-0{,}763\\ \mathrm{V}.
  • potencial-padrão da pilha: E^\circ_{\mathrm{pilha}}=E^\circ_{\mathrm{catodo}}-E^\circ_{\mathrm{anodo}}=0{,}337-(-0{,}763)=1{,}100\\ \mathrm{V}.
Nernst para a reação global (número de elétrons transferidos por reação n=2):
E=E^\circ-\dfrac{RT}{nF}\ln Q_{\text{reat}},
onde Q_{\text{reat}} é o quociente de reação. Para
\mathrm{Zn}+\mathrm{Cu^{2+}}\to\mathrm{Zn^{2+}}+\mathrm{Cu},
Q_{\text{reat}}=\dfrac{[\mathrm{Zn^{2+}}]}{[\mathrm{Cu^{2+}}]}.
Aqui pegamos as concentrações do enunciado (informei isto explicitamente): [\mathrm{Zn^{2+}}]=10^{-4}\\ \mathrm{m} e [\mathrm{Cu^{2+}}]=10^{-3}\\ \mathrm{m}, logo
Q_{\text{reat}}=\dfrac{10^{-4}}{10^{-3}}=0{,}1.
Constantes numéricas: R=8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, T=298{,}15\\ \mathrm{K}, F=96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}}. Primeiro calculemos \dfrac{RT}{F} (valor prático em volts):
\dfrac{RT}{F}\approx 0{,}025693\\ \mathrm{V}\quad\text{a }298{,}15\\ \mathrm{K},
então
\dfrac{RT}{nF}=\dfrac{0{,}025693}{2}\\ \mathrm{V}\approx 0{,}012847\\ \mathrm{V}.
Agora a correção de Nernst:
E=1{,}100\\\ -\\\ 0{,}012847\ln(0{,}1).
Lembrando que \ln(0{,}1)=-\ln 10=-2{,}302585\ldots, obtemos
E=1{,}100\\\ +\\\ 0{,}012847\times 2{,}302585 \approx 1{,}1296\\ \mathrm{V}.
Portanto a força eletromotriz da pilha sob estas concentrações é aproximadamente 1{,}1296\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Variação da energia livre de Gibbs da reação (explicação didática): para um processo eletroquímico reversível que transfere n mols de elétrons com potencial E,
\Delta G = -\,n\,F\,E.
Aqui n=2 (número de elétrons por reação), F=96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}} e E\approx 1{,}1296\\ \mathrm{V}. Assim:
\Delta G = -2\times 96485\times 1{,}1296\\ \mathrm{J}\approx -217{,}98\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
Escrevendo em notação convencional:
\Delta G \approx -2{,}18\times 10^{5}\\ \mathrm{J}.
Sinal negativo indica que a reação eletroquímica espontaneamente libera energia livre (pilha funcionando gerando trabalho elétrico).

Passo 8

Potência média da pilha (explicação didática): potência elétrica é produto da ddp pela corrente:
P_{\mathrm{média}} = E \times I_{\mathrm{média}}.éé
Usando E\approx 1{,}1296\\ \mathrm{V} e I_{\mathrm{média}}\approx 0{,}645\\ \mathrm{A}é:
P_{\mathrm{média}}\approx 1{,}1296\times 0{,}645\\ \mathrm{W}\approx 0{,}729\\ \mathrm{W}.é

Resposta

(a) \Delta m_{\mathrm{anodo}}\approx -12{,}45\\ \mathrm{mg}
(b) \Delta G\approx -2{,}18\times 10^{5}\\ \mathrm{J}
(c) I_{\mathrm{média}}\approx 0{,}645\\ \mathrm{A}é
(d) P_{\mathrm{média}}\approx 0{,}729\\ \mathrm{W}é

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