Escrever as equações do desvio padrão da população, da amostra e da média. Em quais situações cada um deles é usado?
Passo 1
Você pediu: “Escrever as equações do desvio padrão da população, da amostra e da média. Em quais situações cada um deles é usado?”\n
Informações dadas / objetivo claro:
Preciso apresentar as fórmulas do desvio padrão da população, do desvio padrão da amostra (com correção de Bessel) e do desvio padrão da média (erro padrão).
Preciso explicar, de forma didática, o que cada símbolo significa e quando cada fórmula é usada.
Vou mostrar também exemplos numéricos simples para você poder calcular passo a passo na prova.
Passo 2
Definição e fórmula do valor central (média) — importante porque as fórmulas do desvio usam a média:
\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i
Aqui:
\mu é a média da população.
N é o tamanho da população (número total de observações da população).
x_i é o i-ésimo elemento da população.
Passo 3
Fórmula do desvio padrão da população (variabilidade verdadeira quando temos todos os dados da população):
Fórmula da média amostral e do desvio padrão da amostra (quando temos apenas uma amostra e queremos estimar a variabilidade da população):
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
s = \sqrt{\; \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2 \; \,}
Explicando:
\bar{x} é a média da amostra.
n é o tamanho da amostra.
s é o desvio padrão da amostra (estimador da variabilidade populacional).
O divisor n-1 é a correção de Bessel: usamos n-1 porque calcular a média pela amostra “gasta” um grau de liberdade; usar n tende a subestimar a variância verdadeira da população. Então dividimos por n-1 para obter um estimador não viesado da variância populacional.
Passo 6
Exemplo prático (mesma lista \{2,4,7\}, agora tratada como amostra):\n
Média amostral:
\bar{x}=\frac{2+4+7}{3}=\frac{13}{3}
Soma dos quadrados das diferenças (já calculada no Passo 4):
Note que s é maior do que \sigma calculado tratando os mesmos números como se fossem a população — isso mostra o efeito da correção: ao dividir por n-1 obtemos um estimador que, em média, é melhor para estimar a variância populacional.
Passo 7
Fórmula do desvio padrão da média (também chamado de erro padrão da média) — mede a variabilidade da estimativa da média se repetíssemos amostras:
Se a variância populacional é conhecida:
\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Se \sigma é desconhecida (caso usual), estimamos pelo desvio da amostra:
\mathrm{SE}(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}
Explicando:
\sigma_{\bar{x}} ou \mathrm{SE}(\bar{x}) é o desvio padrão da distribuição amostral da média.
Dividir por \sqrt{n} significa que, ao fazer a média de n observações, a variabilidade da média diminui em relação à variabilidade de uma observação individual — por isso a média é uma estimativa mais estável.
Passo 8
Exemplo numérico do erro padrão com a amostra \{2,4,7\}:\n
Temos s=\sqrt{19/3} e n=3. Então
Interpretação: se repetíssemos muitas vezes esse experimento de colher amostras de tamanho 3, as médias das amostras teriam desvio padrão aproximadamente 1{,}453.
Passo 9
Resumo prático — quando usar cada fórmula (modo curto e direto para a prova):
Use \sigma=\sqrt{\tfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2} quando você tiver todos os dados da população (ou souber \mu e \sigma teoricamente).
Use s=\sqrt{\tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} quando você tiver apenas uma amostra e quiser estimar a variabilidade da população (correção de Bessel com n-1).
Use \sigma_{\bar{x}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} (ou \mathrm{SE}(\bar{x})=\dfrac{s}{\sqrt{n}} se \sigma for desconhecida) quando quiser a variabilidade da média amostral — por exemplo para construir intervalos de confiança ou testar hipóteses sobre a média.
Resposta
\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\bigl(x_i-\mu\bigr)^2} — usado quando você tem todos os dados da população. \displaystyle s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2} — usado quando você tem apenas uma amostra e quer estimar a variabilidade populacional (correção de Bessel). \displaystyle \sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\quad\text{ou}\quad \mathrm{SE}(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}} — usado para medir a variabilidade da média amostral (erro padrão), por exemplo para intervalos de confiança e testes de hipóteses.