Escrever as equações do desvio padrão da população, da amostra e da média. Em quais situações cada um deles é usado?

Passo 1

Você pediu: “Escrever as equações do desvio padrão da população, da amostra e da média. Em quais situações cada um deles é usado?”\n
Informações dadas / objetivo claro:
  • Preciso apresentar as fórmulas do desvio padrão da população, do desvio padrão da amostra (com correção de Bessel) e do desvio padrão da média (erro padrão).
  • Preciso explicar, de forma didática, o que cada símbolo significa e quando cada fórmula é usada.
  • Vou mostrar também exemplos numéricos simples para você poder calcular passo a passo na prova.

Passo 2

Definição e fórmula do valor central (média) — importante porque as fórmulas do desvio usam a média:
\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i
Aqui:
  • \mu é a média da população.
  • N é o tamanho da população (número total de observações da população).
  • x_i é o i-ésimo elemento da população.

Passo 3

Fórmula do desvio padrão da população (variabilidade verdadeira quando temos todos os dados da população):
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\bigl(x_i - \mu\bigr)^2}
Explicando:
  • \sigma é o desvio padrão da população.
  • O termo \bigl(x_i-\mu\bigr)^2 mede o quadrado da diferença entre cada observação e a média.
  • Fazemos a média dessas diferenças ao quadrado dividindo por N, e então tiramos raiz quadrada para voltar à mesma unidade dos dados.

Passo 4

Exemplo prático (população completa) para ver as contas passo a passo — usaremos o conjunto \{2,4,7\} como se fosse toda a população:
Calcule a média:
\mu=\frac{2+4+7}{3}=\frac{13}{3}
Calcule as diferenças ao quadrado e a variância:
\sum_{i=1}^{3}(x_i-\mu)^2 = \left(2-\tfrac{13}{3}\right)^2+\left(4-\tfrac{13}{3}\right)^2+\left(7-\tfrac{13}{3}\right)^2=\frac{49}{9}+\frac{1}{9}+\frac{64}{9}=\frac{114}{9}=\frac{38}{3}
Variância populacional:
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2=\frac{1}{3}\cdot\frac{38}{3}=\frac{38}{9}
Desvio padrão populacional:
\sigma=\sqrt{\frac{38}{9}}=\frac{\sqrt{38}}{3}\approx 2{,}055

Passo 5

Fórmula da média amostral e do desvio padrão da amostra (quando temos apenas uma amostra e queremos estimar a variabilidade da população):
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
s = \sqrt{\; \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2 \; \,}
Explicando:
  • \bar{x} é a média da amostra.
  • n é o tamanho da amostra.
  • s é o desvio padrão da amostra (estimador da variabilidade populacional).
  • O divisor n-1 é a correção de Bessel: usamos n-1 porque calcular a média pela amostra “gasta” um grau de liberdade; usar n tende a subestimar a variância verdadeira da população. Então dividimos por n-1 para obter um estimador não viesado da variância populacional.

Passo 6

Exemplo prático (mesma lista \{2,4,7\}, agora tratada como amostra):\n
Média amostral:
\bar{x}=\frac{2+4+7}{3}=\frac{13}{3}
Soma dos quadrados das diferenças (já calculada no Passo 4):
\sum_{i=1}^{3}(x_i-\bar{x})^2=\frac{38}{3}
Variância amostral:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{38}{3}=\frac{19}{3}\approx 6{,}333
Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{\frac{19}{3}}\approx 2{,}517
Note que s é maior do que \sigma calculado tratando os mesmos números como se fossem a população — isso mostra o efeito da correção: ao dividir por n-1 obtemos um estimador que, em média, é melhor para estimar a variância populacional.

Passo 7

Fórmula do desvio padrão da média (também chamado de erro padrão da média) — mede a variabilidade da estimativa da média se repetíssemos amostras:
Se a variância populacional é conhecida:
\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Se \sigma é desconhecida (caso usual), estimamos pelo desvio da amostra:
\mathrm{SE}(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}
Explicando:
  • \sigma_{\bar{x}} ou \mathrm{SE}(\bar{x}) é o desvio padrão da distribuição amostral da média.
  • Dividir por \sqrt{n} significa que, ao fazer a média de n observações, a variabilidade da média diminui em relação à variabilidade de uma observação individual — por isso a média é uma estimativa mais estável.

Passo 8

Exemplo numérico do erro padrão com a amostra \{2,4,7\}:\n
Temos s=\sqrt{19/3} e n=3. Então
\mathrm{SE}(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{\tfrac{19}{3}}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\tfrac{19}{9}}=\frac{\sqrt{19}}{3}\approx 1{,}453
Interpretação: se repetíssemos muitas vezes esse experimento de colher amostras de tamanho 3, as médias das amostras teriam desvio padrão aproximadamente 1{,}453.

Passo 9

Resumo prático — quando usar cada fórmula (modo curto e direto para a prova):
  • Use \sigma=\sqrt{\tfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2} quando você tiver todos os dados da população (ou souber \mu e \sigma teoricamente).
  • Use s=\sqrt{\tfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} quando você tiver apenas uma amostra e quiser estimar a variabilidade da população (correção de Bessel com n-1).
  • Use \sigma_{\bar{x}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} (ou \mathrm{SE}(\bar{x})=\dfrac{s}{\sqrt{n}} se \sigma for desconhecida) quando quiser a variabilidade da média amostral — por exemplo para construir intervalos de confiança ou testar hipóteses sobre a média.

Resposta

\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\bigl(x_i-\mu\bigr)^2} — usado quando você tem todos os dados da população.
\displaystyle s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2} — usado quando você tem apenas uma amostra e quer estimar a variabilidade populacional (correção de Bessel).
\displaystyle \sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\quad\text{ou}\quad \mathrm{SE}(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}} — usado para medir a variabilidade da média amostral (erro padrão), por exemplo para intervalos de confiança e testes de hipóteses.

Exercícios relacionados