Durante as medições para se determinar o volume de uma esfera, foi medido o diâmetro \varphi conforme listado na tabela abaixo. a) Calcule o valor médio \bar{\varphi}=\sum_{i=1}^{5} \phi_{i} / 5 e o erro \varepsilon_{\varphi}=\sqrt{\sigma_{\varphi}^{2}+I_{\varphi}^{2}} associado ao diâmetro e coloque na forma \varphi=\bar{\varphi} \pm \varepsilon_{\varphi}, utilizando a notação científica e usando as regras do arredondamento se necessário ( 6 pontos) (Lembre-se que \sigma_{\varphi}=\sqrt{\sum_{i=1}^{5}\left(\phi_{i}-\bar{\varphi}\right)^{2} / 4} é o desvio padrão e I_{\varphi} representa a incerteza do instrumento de medida utilizado para medir o diâmetro). b) Expresse o resultado final do volume ( V=\pi \varphi^{3} / 6 ) com o seu respectivo erro (4 pontos) (lembre-se que para calcular o erro do volume é necessário calcular a propagação do erro, além de levar em conta o desvio padrão e o erro do instrumento de medida).
No de Medições \phi_{i} \pm I_{\varphi}(\mathrm{mm})
1^{\circ} 27,85 \pm 0,01
2^{\circ} 27,83 \pm 0,01
3^{\circ} 27,81 \pm 0,01
4^{\circ} 27,86 \pm 0,01
5^{\circ} 27,84 \pm 0,01
Nota: A propagação do erro para o volume é definido por
\varepsilon_{V}=\sqrt{\left(\frac{\partial V}{\partial \varphi}\right)^{2} \varepsilon_{\varphi}^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial \pi}\right)^{2} \varepsilon_{\pi}^{2}}=\frac{\bar{\varphi}^{2}}{2} \sqrt{\left(\pi \varepsilon_{\varphi}\right)^{2}+\left(\frac{\bar{\varphi} \varepsilon_{\pi}}{3}\right)^{2}},
onde \pi é o valor de pí inserido na calculadora com o número de dígitos truncado na i-ésima casa decimal e \varepsilon_{\varphi} o erro associado ao truncar a i-ésima casa decimal de pi. Ex. \pi=3,1416 com erro \varepsilon_{\pi}=0,0001.

Passo 1

O enunciado dá cinco medidas do diâmetro \phi_i de uma esfera, cada uma com incerteza do instrumento I_{\varphi}=0{,}01\\ \mathrm{mm}, e pede:
– (a) calcular a média
\bar{\varphi}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}\phi_i
o desvio padrão amostral
\sigma_{\varphi}=\sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{5}(\phi_i-\bar{\varphi})^2}
e o erro combinado
\varepsilon_{\varphi}=\sqrt{\sigma_{\varphi}^2+I_{\varphi}^2}
e expressar \varphi=\bar{\varphi}\pm\varepsilon_{\varphi} em notação científica.
– (b) usar V=\pi\varphi^3/6 e propagar o erro segundo
\varepsilon_{V}=\frac{\bar{\varphi}^2}{2}\sqrt{\bigl(\pi\,\varepsilon_{\varphi}\bigr)^2+\Bigl(\frac{\bar{\varphi}\,\varepsilon_{\pi}}{3}\Bigr)^2},
onde \pi=3{,}1416\pm0{,}0001.

Passo 2

Calcular \bar{\varphi}:
\sum\phi_i=27{,}85+27{,}83+27{,}81+27{,}86+27{,}84=139{,}19\\ \mathrm{mm},
\bar{\varphi}=\frac{139{,}19}{5}=27{,}838\\ \mathrm{mm}.
Calcular \sigma_{\varphi}: primeiro as diferenças ao quadrado
\begin{aligned} (27{,}85-27{,}838)^2&=1{,}44\times10^{-4},\\\ (27{,}83-27{,}838)^2&=6{,}4\times10^{-5},\\\ (27{,}81-27{,}838)^2&=7{,}84\times10^{-4},\\\ (27{,}86-27{,}838)^2&=4{,}84\times10^{-4},\\\ (27{,}84-27{,}838)^2&=4{,}0\times10^{-6}, \end{aligned}
soma =1{,}48\times10^{-3},
\sigma_{\varphi}=\sqrt{\frac{1{,}48\times10^{-3}}{4}}=0{,}0192\\ \mathrm{mm}.
Então
\varepsilon_{\varphi}=\sqrt{(0{,}0192)^2+(0{,}01)^2}=0{,}0217\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Arredondando de modo consistente com o erro (duas casas decimais),
\varphi=\bigl(27{,}84\pm0{,}02\bigr)\\ \mathrm{mm}.
Em notação científica:
\varphi=(2{,}784\pm0{,}022)\times10^{1}\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Calcular o volume nominal
V=\frac{\pi\,\bar{\varphi}^3}{6} =\frac{3{,}1416\,(27{,}838)^3}{6}\approx1{,}1296\times10^{4}\\ \mathrm{mm}^3.

Passo 5

Calcular \varepsilon_{V} com \varepsilon_{\pi}=0{,}0001:
\frac{\bar{\varphi}^2}{2}=\frac{(27{,}838)^2}{2}=387{,}48\\ \mathrm{mm}^2,
\pi\,\varepsilon_{\varphi}=3{,}1416\times0{,}0217=0{,}0682,\quad \frac{\bar{\varphi}\,\varepsilon_{\pi}}{3}=\frac{27{,}838\times0{,}0001}{3}=0{,}000928,
\sqrt{(0{,}0682)^2+(0{,}000928)^2}=0{,}0682,
\varepsilon_{V}=387{,}48\times0{,}0682=26{,}4\\ \mathrm{mm}^3.
Arredondando o erro a duas cifras: 26\\ \mathrm{mm}^3, e o volume à unidade:

Resposta

\varphi=(2{,}784\pm0{,}022)\times10^{1}\\ \mathrm{mm}
V=(1{,}1296\pm0{,}0026)\times10^{4}\\ \mathrm{mm}^3

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