II. Ondas LONGITUDINAIS - (10R)

Para um tubo sonoro com uma das extremidades abertas, temos que a condição de ondas estacionárias é dada como:
L=n \frac{\lambda_{n}}{4} \text { para } n=1,3,5,7, \ldots
Onde:
L \rightarrow comprimento do tubo,
\lambda_{n} \rightarrow comprimento de onda da onda estacionária no tubo e
n \rightarrow um número inteiro, ímpar.
Fazendo a correção do comprimento do tubo para o comprimento efetivo ( L_{\text {ef }} ), teríamos:
L_{e f}=L+\Delta L
Onde:
\Delta L \quad \rightarrow correção do terminal para o comprimento efetivo do tubo.
Esta correção terminal ( \Delta L ) pode ser eliminada se pegamos entre dois comprimentos de onda de ressonância consecutivos:
L_{n+2}-L_{n}=\frac{1}{2} \lambda_{0}
Onde:
\lambda_{0} \rightarrow comprimento de onda associada à frequência natural do diapasão f_{0}.
Logo podemos calcular a velocidade da onda como:
v=\lambda_{0} f_{0}=2\left(L_{n+2}-L_{n}\right) f_{0} \quad \text { para } n=1,3,5,7, \ldots
Tabela 3-5 Medidas de Comprimento usando trena (menor divisão 1 mm )
n L_{n} L(\mathrm{~m}) \bar{L} (m) \sigma_{\mathrm{tL}}
1 L_{1} 0,132 0,201 0,219 0,145 0,189
3 L_{3} 0,605 0,599 0,612 0,598 0,610
5 L_{5} 0,991 1,001 1,015 0,989 1,020
7 L_{7} 1,386 1,340 1,405 1,393 1,397
f_{0}=440 \pm 1 \mathrm{~Hz}
Tabela 4 - Medidas da Temperatura
T\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \bar{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) \sigma_{\mathrm{t} T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)
19,3 19,4 19,2 19,4 19,5
\pm
(a) (2R) Determine o comprimento de onda \lambda_{0} através do gráfico de L_{n} versus n, utilizando os dados da Tabela 3. Faça o gráfico através do SciDAVis. Forneça no gráfico a equação da curva e o respectivo coeficiente de correlação. (anexe o gráfico no final da prova).
(b.1) (2R) Existe erro associado a \lambda_{0} ? E a f_{0} ?
\underline{\mathrm{R} 1}\left(\lambda_{0}\right) : \qquad
\qquad
\qquad

\underline{\mathrm{R} 2}\left(f_{0}\right):

\qquad
\qquad
\lambda_{0}= \sigma \mathrm{t} \lambda_{0}= f_{0}= \sigma \mathrm{t} f_{0}
(b.2) (2R) Determine a velocidade da onda v, utilizando a relação v=\lambda_{0} f_{0}.
v= \pm \mathrm{m} / \mathrm{s}
Espaço extra para cálculos caso necessário

Passo 1

O enunciado trata de ondas estacionárias em um tubo com uma extremidade aberta, em que as condições de ressonância obedecem
L_{n}+ \Delta L = n\,\frac{\lambda_{n}}{4},\quad n=1,3,5,7,\dots
e a diferença entre dois modos consecutivos dá
L_{n+2}-L_{n} = \frac{\lambda_{0}}{2}.
Precisamos, portanto, calcular a média e o desvio-padrão de cada L_{n}, montar o gráfico de L_{n} versus n, extrair a inclinação m da reta, obter \lambda_{0}=4m e propagação de erros para \lambda_{0} e depois para v=\lambda_{0}f_{0}.

Passo 2

Calculamos para cada n\in\{1,3,5,7\} a média
\bar L_{n} = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}L_{n,i}
e o desvio-padrão da média (incerteza tipo A)
\sigma_{\bar L_{n}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{5}\bigl(L_{n,i}-\bar L_{n}\bigr)^{2}}.
Isso dá (em metros):
\begin{aligned} L_{1}&=0{,}177\pm0{,}017,\\\ L_{3}&=0{,}605\pm0{,}003,\\\ L_{5}&=1{,}003\pm0{,}006,\\\ L_{7}&=1{,}384\pm0{,}011. \end{aligned}

Passo 3

Fazemos o gráfico de \bar L_{n} versus n e ajustamos por mínimos quadrados uma reta
\bar L_{n} = m\,n + b.
Da teoria, m = \lambda_{0}/4, pois
\bar L_{n+2}-\bar L_{n} = 2m = \frac{\lambda_{0}}{2}.

Passo 4

Pelo ajuste de mínimos quadrados obtemos
m = 0{,}2010\pm0{,}0037\\ \text{m},\quad b = -0{,}0115\\ \text{m},
com coeficiente de correlação R\approx0{,}9999. Logo
\lambda_{0} = 4m = 4\,(0{,}2010\pm0{,}0037)\,\text{m} = 0{,}804\pm0{,}015\\ \text{m}.

Passo 5

Sim, existe incerteza em \lambda_{0} (vem do ajuste linear) e em f_{0} (dada pelo diapasão).
R 1 \bigl(\lambda_{0}\bigr): sim, \sigma_{\lambda_{0}}=0{,}015\\ \text{m}.
R 2 \bigl(f_{0}\bigr): sim, \sigma_{f_{0}}=1\\ \text{Hz}.

Passo 6

Finalmente, a velocidade do som é
v = \lambda_{0}\,f_{0} = (0{,}804\pm0{,}015)\,\text{m}\;\times\;(440\pm1)\,\text{Hz}.
Propagando erros:
\sigma_{v} = v\sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_{\lambda_{0}}}{\lambda_{0}}\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\sigma_{f_{0}}}{f_{0}}\Bigr)^{2}} \approx 6{,}7\\ \text{m/s}.
Portanto
v = 354\pm7\\ \text{m/s}.

Resposta

\lambda_{0} = 0{,}804\pm0{,}015\\ \text{m} f_{0} = 440\pm1\\ \text{Hz} v = 354\pm7\\ \text{m/s}

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