EXPERIMENTO: PÊNDULO SIMPLES - MHS (18R)
Para o pêndulo simples, podemos chegar na seguinte equação que representa a aceleração da gravidade no local do experimento:
g=4 \pi^{2} \frac{L}{T^{2}}
Onde:
g \rightarrow aceleração da gravidade local,
L \rightarrow comprimento do fio do pêndulo simples,
T \rightarrow período de oscilação do pêndulo simples e
Tabela 1 - variando o comprimento L do pêndulo e obtendo 5 medidas de \Delta t para 10 oscilações.
m_{1}=0,00652(\mathrm{~kg})
L(\mathrm{~m}) \sigma_{\mathrm{tL}}(\mathrm{m}) \Delta t(\mathrm{~s}) para 10 oscilações \bar{T} (s) \sigma_{\mathrm{t}} \bar{T}(\mathrm{~s}) \bar{T}^{2}\left(\mathrm{~s}^{2}\right) \sigma_{\mathrm{t}} \bar{T}^{2}\left(\mathrm{~s}^{2}\right)
0,20 8,77 8,49 8,54 8,62 8,50
0,40 11,92 11,86 12,11 12,13 12,22
0,50 14,58 14,84 14,66 14,89 14,78
0,60 17,88 17,65 17,46 17,77 17,82
Tabela 2 - variando o comprimento L do pêndulo e obtendo 5 medidas de \Delta t para 10 oscilações.
m_{2}=0,02234(\mathrm{~kg})
L(\mathrm{~m}) \sigma_{\mathrm{tL}}(\mathrm{m}) \Delta t(\mathrm{~s}) para 10 oscilações \bar{T} (s) \sigma \mathrm{t} \bar{T}(\mathrm{~s}) \bar{T}^{2}\left(\mathrm{~s}^{2}\right) \sigma_{\mathrm{t}} \bar{T}^{2}\left(\mathrm{~s}^{2}\right)
0,20 9,43 9,27 9,68 9,38 9,25
0,40 12,86 12,89 12,71 12,69 12,81
0,50 15,64 15,76 14,92 15,67 15,43
0,60 18,09 18,23 18,09 18,12 18,06
(a) (1R) Apenas através das tabelas 1 e 2, pode-se supor alguma dependência do período em relação às massas? Por quê? R.:
(b.1) (2R) Trace gráficos do quadrado do período pelo comprimento, para cada uma das massas, utilizando uma planilha (ex.: Excel ou planilha do Linux) ou no SciDAVis (anexe os gráficos no final da prova). (OBS.: está sendo fornecido um PDF de papel milimetrado como alternativa de quem não possa fazer o gráfico no SciDAVis ou não tenha acesso uma planilha de dados).
(b.2) (2R) Forneça para cada gráfico obtido uma equação da melhor curva ajustada (anexe os gráficos no final da prova).
(c) (3R) Calcule e apresente o valor de g obtido através de cada gráfico. Encontre o \bar{g} (aceleração da gravidade média dos dois gráficos)
g_{1}= g_{2}= \bar{g}=
(d) (1R) Encontre o erro propagado de g, \sigma_{\text {tg }}, e expresse o resultado:
\bar{g}=\quad \pm \quad \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do período do pêndulo simples
g = 4\pi^2 \,\frac{L}{T^2}
onde L é o comprimento do fio, T o período (obtido dividindo-se o tempo de 10 oscilações \Delta t por 10) e g a gravidade local. Nas Tabelas 1 e 2 temos, para duas massas diferentes, os valores de \Delta t em cinco repetições para cada L. Nosso objetivo é:
(a) verificar se T depende da massa;
(b. 1) plotar T^2 versus L para cada massa;
(b. 2) ajustar reta em cada gráfico e fornecer as equações;
(c) calcular g de cada reta e sua média \bar g;
(d) achar o erro propagado \sigma_{g} em \bar g.

Passo 2

(a) Para cada L, calculamos T = \overline{\Delta t}/10 e comparamos as duas massas. Por exemplo, em L=0,20,m temos
T_1 = 0,8584 \pm 0,0052\text{ s}, \quad T_2 = 0,9402 \pm 0,0077\text{ s}.
Apesar de o valor numérico de T parecer diferente, a teoria do pêndulo simples mostra que
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
não contém massa. Logo qualquer diferença nos valores experimentais de T deve-se a erros de medida e não a dependência do período na massa. Concluímos que T não depende da massa.

Passo 3

(b. 1) Para cada massa, calculamos \bar T e \bar T^2 em cada L e construímos o gráfico de \bar T^2 (eixo vertical) versus L (eixo horizontal). Os dados usados foram:
Massa m_1:
\begin{array}{c|cccc} L\\ (\mathrm m)&0{,}20&0{,}40&0{,}50&0{,}60\\hline \bar T^2\\ (\mathrm{s}^2)&0{,}7368&1{,}4516&2{,}1756&3{,}1385 \end{array}
Massa m_2:
\begin{array}{c|cccc} L\\ (\mathrm m)&0{,}20&0{,}40&0{,}50&0{,}60\\hline \bar T^2\\ (\mathrm{s}^2)&0{,}8848&1{,}6363&2{,}3979&3{,}2837 \end{array}

Passo 4

(b. 2) Ajustamos reta T^2 = a\,L + b por mínimos quadrados. Os resultados foram:
Para m_1:
T^2 = (5{,}81)\,L \;-\;0{,}59 \quad(\mathrm{s}^2/\mathrm m,\;\mathrm{s}^2)
Para m_2:
T^2 = (5{,}88)\,L \;-\;0{,}45 \quad(\mathrm{s}^2/\mathrm m,\;\mathrm{s}^2)

Passo 5

(c) Da teoria, T^2 = \tfrac{4\pi^2}{g}\,L, logo o coeficiente angular a=4\pi^2/g. Assim
g_1 = \frac{4\pi^2}{5{,}81} = 6{,}79\\ \mathrm m/s^2, \quad g_2 = \frac{4\pi^2}{5{,}88} = 6{,}71\\ \mathrm m/s^2.
A média é
\bar g = \frac{g_1 + g_2}{2} = \frac{6{,}79 + 6{,}71}{2} = 6{,}75\\ \mathrm m/s^2.

Passo 6

(d) O erro em cada g_i propaga-se pelo erro no coeficiente angular \sigma_{a_i} do ajuste, dando aproximadamente
\sigma_{g_1} = 1{,}20\\ \mathrm m/s^2, \quad \sigma_{g_2} = 1{,}04\\ \mathrm m/s^2.
Para a média não correlacionada,
\sigma_{\bar g} = \frac{\sqrt{\sigma_{g_1}^2 + \sigma_{g_2}^2}}{2} = \frac{\sqrt{1{,}20^2 + 1{,}04^2}}{2} = 0{,}80\\ \mathrm m/s^2.

Resposta

g_1 = 6{,}79\\ \mathrm m/s^2 g_2 = 6{,}71\\ \mathrm m/s^2 \bar g = 6{,}75 \pm 0{,}80\\ \mathrm m/s^2

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