Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 410. O Fluminense ganha um jogo em um dia de chuva com probabilidade 610 e um dia sem chuva com probabilidade de 410. Sabendo-se que o Fluminense ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu nesse dia?

Passo 1

A questão dá a probabilidade de chuva num dia de agosto e as probabilidades de vitória do Fluminense condicionadas a chover ou não, e pede a probabilidade de ter chovido dado que o time ganhou. O conteúdo é probabilidade condicional e o Teorema de Bayes; vamos precisar das probabilidades básicas e da fórmula de Bayes.

Passo 2

Definimos as probabilidades envolvidas:
P(Chuva)=tfrac410
P(Chuva)=1-tfrac410=tfrac610
P(Vitóriamid Chuva)=tfrac610ó
P(Vitóriamid Chuva)=tfrac410ó.

Passo 3

Calculamos a probabilidade total de vitória usando a Lei da Probabilidade Total:
P(Vitória)=P(Vitóriamid Chuva)P(Chuva)+P(Vitóriamid Chuva)P(Chuva) óóó
Substituindo, temos:
P(Vitória)=tfrac610timestfrac410+tfrac410timestfrac610=tfrac24100+tfrac24100=tfrac48100=0,48 ó.

Passo 4

Aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar P(Chuvamid Vitória)ó:
P(Chuvamid Vitória)=P(Vitóriamid Chuva),P(Chuva)P(Vitória)=tfrac610timestfrac4100,48=0,240,48=0,5 óóó.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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