Três urnas I, II e III contém, respectivamente, 1 bola branca e 2 pretas, 2 brancas e 1 preta e 3 brancas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é retirada uma bola, que é branca. Qual é a probabilidade de que a urna escolhida foi a II?

Passo 1

O enunciado fala de três urnas (I, II e III) escolhidas com probabilidade igual de 1/3. Cada urna tem composição diferente de bolas brancas e pretas, e foi retirada uma bola branca. O conteúdo é probabilidade condicional e vamos usar o Teorema de Bayes para achar Pr(Urna IImid branca).

Passo 2

Calculamos primeiro as probabilidades de tirar uma bola branca de cada urna (verossimilhanças):
Pr(brancamid I) = 11+2 = 13, Pr(brancamid II) = 22+1 = 23, Pr(brancamid III) = 33+2 = 35

Passo 3

Pela Lei da Probabilidade Total,
Pr(branca) = sumkinI,II,III Pr(urna k),Pr(brancamid urna k) = 13l(13+23+35r) = 13l(1+35r) = 13cdot85 = 815

Passo 4

Usando Bayes para a urna II:
Pr(IImid branca) = Pr(II),Pr(brancamid II)Pr(branca) = 13cdot23815 = tfrac29tfrac815 = 29cdot158 = 3072 = 512

Resposta

A probabilidade de a urna escolhida ter sido a II, dado que saiu bola branca, é tfrac512.

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