Sejam e as amostras que obedecem à especificação do percentual de sólidos, à especificação do peso molecular e à especificação de cor, respectivamente. Um total de 240 amostras é classificado de acordo com as especificações de e ; “sim” indica que a amostra obedece.

Não
Total
Sim Não
Sim 200 1 201
Não 5 4 9
Total 205 5 210
Total
Sim Não
Sim 20 4 24
Não 6 0 6
Total 26 4 30
a) Os eventos e são mutuamente excludentes? b) Os eventos e são mutuamente excludentes?
c) Qual é a ou ou d) Qual é a probabilidade de uma amostra obedecer às três especificações?
e) Qual é a probabilidade de uma amostra pertencer à especificação ou ?

Passo 1

O enunciado envolve três eventos para cada amostra de um lote de 240 unidades:
  • E1: atende à especificação de percentual de sólidos
  • E2: atende à especificação de peso molecular
  • E3: atende à especificação de cor
    Os dados estão organizados em duas tabelas que, juntas, formam a distribuição conjunta de (E1,E2,E3). Vamos usar a definição de mutuamente excludentes e as regras de probabilidade (contagem, complementar e inclusão-exclusão) para responder as letras a–e.

Passo 2

Para que E1,E2,E3 fossem mutuamente excludentes, precisaríamos ter
P(Eicap Ej)=0para todo ineq j
Mas, por exemplo, há 200 amostras que satisfazem simultaneamente E1, E2 e E3, logo
P(E1cap E2)>= P(E1cap E2cap E3)=200240>0
Portanto, não são mutuamente excludentes.

Passo 3

Análogo, para E1,E2,E3 serem mutuamente excludentes precisaríamos de
P(EicapEj)=0forall,ineq j
Mas há 4 amostras com E1capE2 (essas falham em E1 e em E2 mas podem ou não falhar em E3). Logo não são mutuamente excludentes.

Passo 4

Primeiro, calculamos a probabilidade de as três especificações serem cumpridas simultaneamente:
P(E1cap E2cap E3) =nº de amostras que satisfazem todas as três240 =200240 =56 ºê

Passo 5

c) Queremos
Pl(E1cupE2cupE3r) =1 - P(E1cap E2cap E3) =1 - 56 =16
d) Já respondido no passo anterior:
P(E1cap E2cap E3)=56

Passo 6

e) Para P(E1cup E3) usamos inclusão-exclusão:
P(E1cup E3) = P(E1) + P(E3) - P(E1cap E3)
Dos totais:
P(E1)=225240, P(E3)=210240, P(E1cap E3)=201240
Logo
P(E1cup E3) =225+210-201240 =234240 =3940

Resposta

a) Não.
b) Não.
c) dfrac16
d) dfrac56
e) dfrac3940

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