Sejam e as amostras que obedecem à especificação do percentual de sólidos, à especificação do peso molecular e à especificação de cor, respectivamente. Um total de 240 amostras é classificado de acordo com as especificações de e ; “sim” indica que a amostra obedece. Não
Total
Sim
Não
Sim
200
1
201
Não
5
4
9
Total
205
5
210
Total
Sim
Não
Sim
20
4
24
Não
6
0
6
Total
26
4
30
a) Os eventos e são mutuamente excludentes? b) Os eventos e são mutuamente excludentes?
c) Qual é a ou ou d) Qual é a probabilidade de uma amostra obedecer às três especificações?
e) Qual é a probabilidade de uma amostra pertencer à especificação ou ?
Passo 1
O enunciado envolve três eventos para cada amostra de um lote de 240 unidades:
E1: atende à especificação de percentual de sólidos
E2: atende à especificação de peso molecular
E3: atende à especificação de cor
Os dados estão organizados em duas tabelas que, juntas, formam a distribuição conjunta de (E1,E2,E3). Vamos usar a definição de mutuamente excludentes e as regras de probabilidade (contagem, complementar e inclusão-exclusão) para responder as letras a–e.
Passo 2
Para que E1,E2,E3 fossem mutuamente excludentes, precisaríamos ter
P(Eicap Ej)=0para todo ineq j
Mas, por exemplo, há 200 amostras que satisfazem simultaneamente E1, E2 e E3, logo
P(E1cap E2)>= P(E1cap E2cap E3)=200240>0
Portanto, não são mutuamente excludentes.
Passo 3
Análogo, para E1,E2,E3 serem mutuamente excludentes precisaríamos de
P(EicapEj)=0forall,ineq j
Mas há 4 amostras com E1capE2 (essas falham em E1 e em E2 mas podem ou não falhar em E3). Logo não são mutuamente excludentes.
Passo 4
Primeiro, calculamos a probabilidade de as três especificações serem cumpridas simultaneamente:
P(E1cap E2cap E3) =nº de amostras que satisfazem todas as três240 =200240 =56 ºê