Durante o monitoramento de velocidade em um cruzamento, obteve-se:
v(t)=t^{3}-6 t^{2}+9 t+5
Entre 9 h e 15 h , em que instante o trânsito está mais rápido?
E em que instante está mais lento?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade em função do tempo
v(t) = t^{3} - 6\,t^{2} + 9\,t + 5
e pede, entre t=9~h e t=15~h, em que instante o trânsito está mais rápido (máximo de v) e em que instante está mais lento (mínimo de v). Vamos usar derivadas para encontrar extremos num intervalo fechado.

Passo 2

Calculamos a derivada de v(t), que nos diz onde a função pode ter extremos internos:
v'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t^{3} -6t^{2}+9t+5\bigr) = 3t^{2} -12t + 9 = 3\,(t-1)\,(t-3).
As raízes de v'(t) são t=1~h e t=3~h.

Passo 3

Como o intervalo de interesse é [9,15], os pontos críticos t=1 e t=3 ficam fora desse intervalo. Para saber o comportamento em [9,15], basta olhar o sinal de v'(t) para t>3:
\text{se }t>3,\text{ então }(t-1)>0\text{ e }(t-3)>0 \quad\Longrightarrow\quad v'(t)>0.ã
Isso significa que v(t) é estritamente crescente em todo [9,15].

Resposta

O trânsito está mais lento em t=9~h e mais rápido em t=15~h.

Exercícios relacionados