A velocidade média em um cruzamento é dada por:
v(t)=-2 t^{2}+8 t+10
Em que instante o trânsito está mais lento?

Passo 1

O enunciado dá a função que descreve a velocidade média no cruzamento
v(t) = -2t^{2} + 8t + 10
e pergunta em que instante o trânsito está mais lento.
O conteúdo aqui é otimização de funções polinomiais: vamos usar derivada para achar extremos e depois analisar o domínio físico (tempo não negativo e até a velocidade anular).

Passo 2

Calculemos a derivada de v(t) para encontrar pontos críticos.
v'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-2t^{2} + 8t + 10\bigr) = -4t + 8

Passo 3

Igualamos v'(t) a zero para achar o candidato a extremo:
-4t + 8 = 0
t = 2
Esse é o único ponto onde a função tem derivada zero.

Passo 4

Como o coeficiente de t^{2} em v(t) é -2<0, a parábola é côncava para baixo. Logo, t=2 é um máximo de velocidade (o ponto mais rápido), não o mínimo.

Passo 5

Agora consideramos o domínio físico: t\ge0. A velocidade anula-se quando
-2t^{2} + 8t + 10 = 0
resolvendo,
t = \frac{4\pm\sqrt{16+20}}{2} = 5 \text{ ou } -1.
Descartamos t=-1. Então na prática 0 \le t \le 5. Avaliamos v nos extremos desse intervalo:
v(0) = 10, \quad v(5) = -2\cdot5^{2} + 8\cdot5 + 10 = 0.
O menor valor de velocidade nesse intervalo é 0, em t=5.

Resposta

O trânsito está mais lento em t = 5.

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