Durante a pandemia de covid-19, percebeu-se que o número de pessoas contaminadas aumentava como uma progressão geométrica de razão 2 em uma semana para a outra na cidade de Mozarlândia. Se em um determinado dia há 120 habitantes contaminados, supondo que a progressão seja mantida, na quarta semana o número de contaminados será igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como o número de pessoas contaminadas pelo covid-19 está crescendo como uma progressão geométrica com razão 2 a cada semana em Mozarlândia. A gente precisa descobrir quantas pessoas estarão contaminadas na quarta semana, começando com 120 habitantes já contagiados. Vamos usar a ideia de progressão geométrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma progressão geométrica (PG). Em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso, a razão é 2, o que significa que a cada semana o número de contaminados dobra.
A fórmula para achar o $ n $-ésimo termo de uma PG é:
Onde:
- $ a_n $ é o termo que queremos encontrar.
- $ a_1 $ é o primeiro termo (número inicial de contaminados).
- $ r $ é a razão da PG.
- $ n $ é a posição do termo na sequência.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- $ a_1 = 120 $ (número inicial de contaminados)
- $ r = 2 $ (a cada semana o número dobra)
- Queremos encontrar o número de contaminados na quarta semana, então $ n = 4 $.
Passo 4
Agora, vamos trocar esses valores na fórmula para encontrar $ a_4 $:
Calculando $ 2^3 $:
Então:
Resposta
Na quarta semana, o número de contaminados será igual a 960 pessoas.