Durante o segundo trimestre de 2008, o número médio de assaltos a bancos por dia nos estados do centro-oeste do Brasil foi de 2,06. Suponha que um dia seja selecionado aleatoriamente.
c. Qual é a probabilidade de ter havido menos de três assaltos nesse dia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a média de assaltos a bancos por dia no centro-oeste do Brasil, que foi de 2,06 durante o segundo trimestre de 2008. A gente quer saber a probabilidade de, num dia escolhido aleatoriamente, terem ocorrido menos de três assaltos. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecendo em um intervalo fixo de tempo, dado que esses eventos ocorrem com uma média constante e de forma independente.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula da Distribuição de Poisson. A fórmula para calcular a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos é:
k
Aqui, $ \lambda $ é a média de eventos (número médio de assaltos por dia, que é 2,06), $ e $ é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828), e $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

Como a questão pede a probabilidade de ter menos de três assaltos, isso significa que vamos calcular a soma das probabilidades de ter 0, 1 ou 2 assaltos em um dia. Ou seja:
P(k < 3) = P(0) + P(1) + P(2)

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Poisson.
Para $ k = 0 $:
k = 0
Para $ k = 1 $:
P(0) = 2,06^0 cdot e^-2,060! = 1 cdot e^-2,061 = e^-2,06 approx 0,1275
Para $ k = 2 $:
k = 1

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para obter a probabilidade de ter menos de três assaltos em um dia:
P(k < 3) = 0,1275 + 0,2627 + 0,2706 approx 0,6608

Resposta

A probabilidade de, num dia escolhido aleatoriamente, ocorrerem menos de três assaltos é de aproximadamente 66,08%.

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