Um engenheiro está monitorando o número de falhas em um sistema de resfriamento de reatores que ocorrem, em média, 2 vezes por semana.
Qual a probabilidade de que ocorram pelo menos 3 falhas em uma semana?

Passo 1

O enunciado dá a taxa média de falhas no sistema por semana e pede a probabilidade de que ocorram pelo menos 3 falhas em uma semana.
Informações dadas:
  • A média de falhas por semana é \lambda=2.
O que é pedido:
  • Calcular P(\text{pelo menos 3 falhas em uma semana}), ou seja P(X\ge 3) onde X é o número de falhas em uma semana.

Passo 2

Qual modelo usar e por quê (explicação didática):
  • Quando contamos o número de ocorrências de um evento “raro” em intervalos de tempo fixos, e essas ocorrências são independentes e a taxa média é constante, o modelo padrão é a distribuição de Poisson.
  • Definimos a variável aleatória X como o número de falhas em uma semana. A média (expectativa) de X é \lambda=2.
  • A função de probabilidade (pmf) da Poisson é:
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • k é um número inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots);
  • \lambda é a média (taxa) de ocorrências no intervalo considerado;
  • k! (fatorial) é o produto k!=1\cdot2\cdot3\cdots k com a convenção 0!=1;
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828).
Isso significa que, para cada k, basta substituir \lambda por 2 e aplicar a fórmula para obter P(X=k).

Passo 3

Transformar o evento desejado numa soma conhecida:
  • Queremos P(X\ge 3). É mais fácil usar o complementar:
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\sum_{k=0}^{2}P(X=k).
Explicação rápida: como todas as probabilidades somam 1, a probabilidade de ter pelo menos 3 é 1 menos a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 falhas.

Passo 4

Calcular \;P(X=0),P(X=1),P(X=2) usando a fórmula da Poisson com \lambda=2.
  • Para k=0:
P(X=0)=e^{-2}\frac{2^{0}}{0!}=e^{-2}.
  • Para k=1:
P(X=1)=e^{-2}\frac{2^{1}}{1!}=2e^{-2}.
  • Para k=2:
P(X=2)=e^{-2}\frac{2^{2}}{2!}= \; e^{-2}\frac{4}{2}=2e^{-2}.

Passo 5

Somar as probabilidades de 0,1,2 e obter a expressão exata:
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=e^{-2}+2e^{-2}+2e^{-2}=5e^{-2}.
Logo
P(X\ge 3)=1-5e^{-2}.

Passo 6

Calcular a aproximação numérica (passo a passo):
  • Primeiro e^{-2}\approx 0,1353352832.
  • Então 5e^{-2}\approx 5\times 0,1353352832 \approx 0,6766764160.
  • Finalmente
P(X\ge 3)=1-5e^{-2}\approx 1-0,6766764160\approx 0,3233235840.
Interpretação curta e dica de prova: a probabilidade é cerca de 0,3233, ou seja aproximadamente 32,33\%. No caderno da prova dê primeiro a forma exata 1-5e^{-2} e, se pedirem valor numérico, apresente a aproximação.

Resposta

1-5e^{-2}\approx0,3233235840

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