Um engenheiro está monitorando o número de falhas em um sistema de resfriamento de reatores que ocorrem, em média, 2 vezes por semana.
Qual a probabilidade de que ocorram pelo menos 3 falhas em uma semana?
Qual a probabilidade de que ocorram pelo menos 3 falhas em uma semana?
Passo 1
O enunciado dá a taxa média de falhas no sistema por semana e pede a probabilidade de que ocorram pelo menos 3 falhas em uma semana.
Informações dadas:
- A média de falhas por semana é
.
O que é pedido:
- Calcular
, ou seja onde é o número de falhas em uma semana.
Passo 2
Qual modelo usar e por quê (explicação didática):
- Quando contamos o número de ocorrências de um evento “raro” em intervalos de tempo fixos, e essas ocorrências são independentes e a taxa média é constante, o modelo padrão é a distribuição de Poisson.
- Definimos a variável aleatória
como o número de falhas em uma semana. A média (expectativa) de é . - A função de probabilidade (pmf) da Poisson é:
onde:
-
é um número inteiro não negativo ( ); -
é a média (taxa) de ocorrências no intervalo considerado; -
(fatorial) é o produto com a convenção ; -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Isso significa que, para cada
, basta substituir
por
e aplicar a fórmula para obter
.
Passo 3
Transformar o evento desejado numa soma conhecida:
- Queremos
. É mais fácil usar o complementar:
Explicação rápida: como todas as probabilidades somam 1, a probabilidade de ter pelo menos 3 é 1 menos a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 falhas.
Passo 4
Calcular
usando a fórmula da Poisson com
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Somar as probabilidades de
e obter a expressão exata:
Logo
Passo 6
Calcular a aproximação numérica (passo a passo):
- Primeiro
. - Então
. - Finalmente
Interpretação curta e dica de prova: a probabilidade é cerca de
, ou seja aproximadamente
. No caderno da prova dê primeiro a forma exata
e, se pedirem valor numérico, apresente a aproximação.