Variáveis Aleatórias Discretas Independentes
Dadas X e Y variáveis aleatórias independentes de Poisson com parâmetros e mu respectivamente. Prove que X+Y é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro +mu.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos duas variáveis aleatórias independentes X∼Pois( lambda) e Y∼Pois( mu), então a soma S=X+Y também segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda+mu. Esse conteúdo é sobre somas de variáveis discretas independentes e vamos usar a definição de função massa de probabilidade e a convolução para resolver.

Passo 2

Começamos lembrando a definição da massa de probabilidade de Poisson. Para XsimPois(lambda) vale
P(X=i)=e^-lambdalambda^ii!, i=0,1,2,dots
E de modo análogo, para YsimPois(mu)
P(Y=j)=e^-mumu^jj!, j=0,1,2,dots

Passo 3

Pela independência, a probabilidade conjunta fatoriza: P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j). Para encontrar a distribuição de S=X+Y, aplicamos a fórmula de soma de variáveis discretas:
P(S=k)=sumi=0^k P(X=i,Y=k-i)=sumi=0^k P(X=i),P(Y=k-i)

Passo 4

Substituindo as massas de Poisson nessa soma:
P(S=k)=sumi=0^k e^-lambdalambda^ii!;e^-mumu^k-i(k-i)! = e^-(lambda+mu)sumi=0^klambda^ii!mu^k-i(k-i)!
Agora usamos a identidade de binômio expandido em série combinada com fator 1/k!:
sumi=0^klambda^ii!mu^k-i(k-i)! =1k!sumi=0^kbinomkilambda^imu^k-i =(lambda+mu)^kk!

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
P(S=k)=e^-(lambda+mu)(lambda+mu)^kk!,
o que é exatamente a função massa de uma Poisson com parâmetro lambda+mu. Assim concluímos que S∼Pois( lambda+mu).

Resposta

X+Y ∼ Pois(\lambda+\mu)

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