Variáveis Aleatórias Discretas Independentes
Dadas X e Y variáveis aleatórias independentes de Poisson com parâmetros e
respectivamente. Prove que
é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro
.
Dadas X e Y variáveis aleatórias independentes de Poisson com parâmetros e
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos duas variáveis aleatórias independentes X∼Pois(
) e Y∼Pois(
), então a soma S=X+Y também segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Esse conteúdo é sobre somas de variáveis discretas independentes e vamos usar a definição de função massa de probabilidade e a convolução para resolver.
Passo 2
Começamos lembrando a definição da massa de probabilidade de Poisson. Para
vale
E de modo análogo, para
Passo 3
Pela independência, a probabilidade conjunta fatoriza:
. Para encontrar a distribuição de
, aplicamos a fórmula de soma de variáveis discretas:
Passo 4
Substituindo as massas de Poisson nessa soma:
Agora usamos a identidade de binômio expandido em série combinada com fator
:
Passo 5
Substituindo de volta, obtemos
o que é exatamente a função massa de uma Poisson com parâmetro
. Assim concluímos que S∼Pois(
).
Resposta
X+Y ∼ Pois(\lambda+\mu)