Um duto horizontal de aço, com diâmetro igual a 5 cm , é mantido a uma temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C} em um grande ambiente onde a temperatura do ar e das suas paredes é igual a 20^{\circ} \mathrm{C}. A emissividade da superficie de aço é igual a 0,8 . Pede-se determinar o calor total perdido por este duto de aço, por unidade de comprimento, em W/m, dado que o coeficiente de transferência de calor do ar, por convecção, é igual a 6,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado trata da perda de calor de um duto cilíndrico submetido a duas formas de troca térmica com o meio ambiente: convecção e radiação. A superfície do duto está a 50^\circ\mathrm{C} e o ar ao redor a 20^\circ\mathrm{C}. Para obter a perda por unidade de comprimento devemos somar a contribuição convectiva, dada por
q_{\text{conv}} = h\,A_s\,(T_s - T_\infty),
e a contribuição radiativa, dada por
q_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,A_s\,(T_s^4 - T_\infty^4).
Aqui h é o coeficiente de convecção, \varepsilon a emissividade, \sigma a constante de Stefan–Boltzmann, A_s a área lateral por metro de comprimento, T_s a temperatura da superfície e T_\infty a temperatura do ar, ambos em kelvin.

Passo 2

Primeiro convertemos as temperaturas para kelvin e calculamos a área lateral por metro de comprimento.
T_s = 50 + 273{,}15 = 323{,}15\\ \mathrm{K},\quad T_\infty = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
O diâmetro é D=0{,}05\\ \mathrm{m}, então a área lateral por metro de comprimento é
A_s = \pi D \times 1 = \pi \times 0{,}05 = 0{,}1571\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Calculamos a perda por convecção usando
q_{\text{conv}} = h\,A_s\,(T_s - T_\infty),
com h = 6{,}5\\ \mathrm{W/(m^2K)} e \Delta T = 323{,}15 - 293{,}15 = 30\\ \mathrm{K}:
q_{\text{conv}} = 6{,}5 \times 0{,}1571 \times 30 \approx 30{,}6\\ \mathrm{W/m}.

Passo 4

Calculamos a perda por radiação com
q_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,A_s\,(T_s^4 - T_\infty^4),
onde \varepsilon=0{,}8 e \sigma = 5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2K^4)}. Primeiro a diferença de potências de quatro:
T_s^4 - T_\infty^4 \approx (323{,}15)^4 - (293{,}15)^4 \approx 3{,}52\times10^9\\ \mathrm{K^4}.
Logo
q_{\text{rad}} = 0{,}8 \times 5{,}67\times10^{-8}\times0{,}1571\times3{,}52\times10^9 \approx 25{,}0\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

A perda de calor total por unidade de comprimento é a soma das duas parcelas:
q' = q_{\text{conv}} + q_{\text{rad}} \approx 30{,}6 + 25{,}0 = 55{,}6\\ \mathrm{W/m}.

Resposta

q' \approx 55{,}6\\ \mathrm{W/m}.

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