: Lançam-se dois dados perfeitos e observam-se os números nas faces voltadas para cima;
: A soma das faces é sete.
: Lançar uma moeda três vezes, sucessivamente, e anotar a sequência de caras © e coroas (K);
: Sair pelo menos duas caras;
: Sair apenas 1 coroa.
: Lançar uma moeda e um dado, simultaneamente, e registrar os resultados;
: Obtenção de face ímpar no dado;
: Obtenção de cara e face par no dado;
: Obtenção de coroa e face maior que 3 no dado.
: Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num período de 1 hora;
: Obter menos de 3 defeituosas.
: Um fabricante produz um determinado artigo. Da linha de produção são retirados 3 artigos e cada um é classificado como bom (B) ou defeituoso (D).
: Pelo menos um artigo é bom;
: Pelo menos dois artigos são bons;
: Apenas um artigo é ruim.
Passo 1
Beleza, vamos fazer um rolê de probabilidade clássica e distribuição de variáveis aleatórias. Tem cinco experimentos E₁ a E₅, cada um com seus eventos A. Precisamos calcular a probabilidade de cada evento. Para isso usamos:
- Regra clássica de Laplace (P = número de casos favoráveis / número de casos totais),
- Regra do produto pra independência (quando juntamos resultados de coisas independentes),
- Distribuição de Poisson (contagem de eventos raros num intervalo),
- Distribuição Binomial (n testes independentes, cada qual “sucesso” com p).
Passo 2
E₁: dois dados perfeitos. A₁ = soma das faces é 7.
Teoria: Cada dado tem 6 faces, total de 6×6=36 resultados equiprováveis. A soma dá 7 em 6 casos: (1,6), (2,5)… (6,1).
Então
Teoria: Cada dado tem 6 faces, total de 6×6=36 resultados equiprováveis. A soma dá 7 em 6 casos: (1,6), (2,5)… (6,1).
Então
Passo 3
E₂: jogam-se 3 vezes uma moeda. A₂₁ = sair pelo menos duas caras ©.
Teoria: o espaço tem 2³=8 resultados. “Pelo menos duas caras” significa 2 ou 3 caras. O número de sequências com exatamente k caras é dado por .
Logo
Teoria: o espaço tem 2³=8 resultados. “Pelo menos duas caras” significa 2 ou 3 caras. O número de sequências com exatamente k caras é dado por
Logo
Passo 4
Ainda em E₂. A₂₂ = sair apenas 1 coroa (K).
Teoria: “uma coroa” equivale a “duas caras”, porque 3 lances no total.
Teoria: “uma coroa” equivale a “duas caras”, porque 3 lances no total.
Passo 5
E₃: lançar simultaneamente uma moeda e um dado. A₃₁ = face ímpar no dado.
Teoria: produto de espaços independentes: 2×6=12 casos iguais. “Dado ímpar” tem 3 faces {1,3,5}, sem ligar pro resultado da moeda (2 opções).
Teoria: produto de espaços independentes: 2×6=12 casos iguais. “Dado ímpar” tem 3 faces {1,3,5}, sem ligar pro resultado da moeda (2 opções).
Passo 6
E₃. A₃₂ = sair cara © e face par no dado.
Teoria: P(moeda=C)·P(dado par) = .
Teoria: P(moeda=C)·P(dado par) =
Passo 7
E₃. A₂₃ = sair coroa (K) e face maior que 3 no dado.
Teoria: “face>3” são {4,5,6}, 3 opções.
Teoria: “face>3” são {4,5,6}, 3 opções.
Passo 8
E₄: conta-se o número
de peças defeituosas em 1 hora. A₄ = “menos de 3 defeituosas” (i.e.
).
Teoria: modelo de Poisson, em que
Teoria: modelo de Poisson, em que
sendo
a média no período de 1h. Então
Passo 9
E₅: tiram-se 3 artigos, cada um “bom” (B) com prob.
ou “defeituoso” (D) com prob.
. Isso é Binomial(3,p).
Passo 10
A₅₁ = pelo menos um artigo é bom.
Teoria: “pelo menos um” = 1 − P(nenhum bom).
Teoria: “pelo menos um” = 1 − P(nenhum bom).
Passo 11
A₅₂ = pelo menos dois artigos são bons.
Passo 12
A₅₃ = apenas um artigo é ruim (exatamente 1 D e 2 B).
Resposta
P(A₁)=1/6
P(A₂₁)=1/2
P(A₂₂)=3/8
P(A₃₁)=1/2
P(A₃₂)=1/4
P(A₂₃)=1/4
P(A₄)=
P(A₅₁)=1−q³
P(A₅₂)=3p²q+p³
P(A₅₃)=3pq p (isto é, 3 q p²)
P(A₂₁)=1/2
P(A₂₂)=3/8
P(A₃₁)=1/2
P(A₃₂)=1/4
P(A₂₃)=1/4
P(A₄)=
P(A₅₁)=1−q³
P(A₅₂)=3p²q+p³
P(A₅₃)=3pq p (isto é, 3 q p²)