E5: Conversão de base decimal?binário / binário?decimal:
(9)
(1111111)_{2}=(\quad)_{10}

Passo 1

O enunciado dá o número binário (1111111)_{2} e pede sua representação na base decimal.
Informações relevantes: todos os dígitos são 1, o número tem 7 dígitos (bits), e a base de origem é 2.
A pergunta é: qual é o valor deste número em base decimal, isto é, qual é (\;?\;)_{10} correspondente a (1111111)_{2} ?

Passo 2

Conceito importante (posicional): um número em base 2 com dígitos b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{1}b_{0} vale
\sum_{i=0}^{n-1} b_{i}\,2^{i},
onde b_{i} é o dígito (0 ou 1) na posição i contada a partir da direita (posição 0 é o bit menos significativo) e 2^{i} é a potência de 2 correspondente àquela posição.
Explicando as variáveis: b_{i} é o valor do dígito (aqui sempre 1), i indica a posição (começando em 0 à direita), e 2^{i} é o peso daquela posição.

Passo 3

Aplicando isso ao número (1111111)_{2}: ele tem 7 bits, então as posições vão de 0 a 6. Escrevemos a decomposição posicional:
(1111111)_{2} = 1\cdot 2^{6} + 1\cdot 2^{5} + 1\cdot 2^{4} + 1\cdot 2^{3} + 1\cdot 2^{2} + 1\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0}.
Agora calculamos cada potência de 2:
2^{0}=1,\quad 2^{1}=2,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{4}=16,\quad 2^{5}=32,\quad 2^{6}=64.

Passo 4

Somamos esses valores (cada termo multiplica por 1, então são exatamente as potências acima):
1+2+4+8+16+32+64.
Fazendo a soma passo a passo:
1+2=3,\quad 3+4=7,\quad 7+8=15,\quad 15+16=31,\quad 31+32=63,\quad 63+64=127.

Passo 5

Atalho útil (fórmula de soma de potências de 2): a soma das potências de 2 de 2^{0} até 2^{n-1} é
\sum_{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{n}-1.
Aqui n=7, então a soma é 2^{7}-1=128-1=127. Isso confirma o resultado obtido pela soma direta.

Resposta

(127)_{10}

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