E1: Determine todos os números de ponto flutuante normalizados, N_{R}(2,3,-2,+2), em F(2,3,-2,+2).

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números de ponto flutuante normalizados N_{R}(2,3,-2,+2) no conjunto F(2,3,-2,+2).
Informações dadas:
- base (radix) \beta=2.
- precisão (número de dígitos na mantissa) t=3.
- expoente mínimo e_{\min}=-2.
- expoente máximo e_{\max}=+2.
- Queremos apenas os números normalizados (mantissa com primeiro dígito não nulo).

Passo 2

O que é um número de ponto flutuante normalizado neste sistema?
Um número normalizado em base \beta=2 com precisão t=3 tem a forma
\pm (d_1.d_2 d_3)_2 \times 2^{e},
onde d_1\neq 0 e cada d_i\in\{0,1\}, e e está entre e_{\min} e e_{\max}. Como \beta=2 o único dígito não-nulo possível é d_1=1. Portanto, todos os mantissas normalizadas têm a forma
\pm (1.\,b_2 b_3)_2
com b_2,b_3\in\{0,1\}, e o expoente e\in\{-2,-1,0,1,2\}.

Passo 3

Vamos listar todas as mantissas possíveis em forma binária e convertê-las para fração/decimal (explicando cada conversão):
- (1.00)_2 = 1.
- (1.01)_2 = 1 + 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} = 1 + \tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{4} = 1,25.
- (1.10)_2 = 1 + 1\cdot 2^{-1} + 0\cdot 2^{-2} = 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} = 1,5.
- (1.11)_2 = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{4} = 1,75.
Portanto os valores possíveis da mantissa m são
m\in\left\{1,\; \tfrac{5}{4},\; \tfrac{3}{2},\; \tfrac{7}{4}\right\}.

Passo 4

Os expoentes possíveis são
e\in\{-2,-1,0,1,2\}.
Cada número normalizado tem a forma \pm m\times 2^{e} com m de cima e e neste conjunto.

Passo 5

Agora calculamos os valores numéricos \pm m\times 2^{e}. Vou agrupar por expoente e mostrar as quatro mantissas multiplicadas por cada potência de 2.
Para e=-2 (multiplica por 2^{-2}=\tfrac{1}{4}):
(1.00)_2\times 2^{-2} = 1\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4} = 0,25,
(1.01)_2\times 2^{-2} = \tfrac{5}{4}\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{16} = 0,3125,
(1.10)_2\times 2^{-2} = \tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{8} = 0,375,
(1.11)_2\times 2^{-2} = \tfrac{7}{4}\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{16} = 0,4375.
Para e=-1 (multiplica por 2^{-1}=\tfrac{1}{2}):
1\cdot\tfrac{1}{2}=0,5,\quad \tfrac{5}{4}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{8}=0,625,
\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{4}=0,75,\quad \tfrac{7}{4}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{8}=0,875.
Para e=0 (multiplica por 1):
1,\; \tfrac{5}{4}=1,25,\; \tfrac{3}{2}=1,5,\; \tfrac{7}{4}=1,75.
Para e=1 (multiplica por 2):
2,\; 2{,}5,\; 3,\; 3{,}5.
Para e=2 (multiplica por 4):
4,\; 5,\; 6,\; 7.

Passo 6

Incluímos os sinais. Para cada valor positivo acima existe o seu oposto negativo também (exceto que zero não aparece entre estes números normalizados). Logo o conjunto completo de números normalizados é formado por todos esses positivos e os seus negativos.

Passo 7

Contagem final: há 4 mantissas possíveis, 5 expoentes possíveis e 2 sinais, totalizando 4\cdot 5\cdot 2=40 números normalizados em N_{R}(2,3,-2,+2).

Resposta

\displaystyle N_{R}(2,3,-2,+2)=\{\pm(1.b_2 b_3)_2\times 2^{e}\mid b_2,b_3\in\{0,1\},\\ e\in\{-2,-1,0,1,2\}\}
Valores explícitos (positivos e seus negativos):
\pm 0,25,\\ \pm 0,3125,\\ \pm 0,375,\\ \pm 0,4375,
\pm 0,5,\\ \pm 0,625,\\ \pm 0,75,\\ \pm 0,875,
\pm 1,\\ \pm 1{,}25,\\ \pm 1{,}5,\\ \pm 1{,}75,
\pm 2,\\ \pm 2{,}5,\\ \pm 3,\\ \pm 3{,}5,
\pm 4,\\ \pm 5,\\ \pm 6,\\ \pm 7.

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