E5: Conversão de base decimal?binário / binário?decimal:
(7)
(1000101,1001)_{2}=(\quad)_{10}

Passo 1

O enunciado pede para converter o número binário (1000101,1001)_{2} para base decimal.\n
Informações dadas e o que é pedido:\n
  • A parte inteira em base binária é (1000101)_{2}.\n
  • A parte fracionária em base binária é (1001)_{2} (os dígitos depois da vírgula).\n
  • Precisamos encontrar o valor equivalente em base decimal, ou seja, escrever (1000101,1001)_{2} como (\;\cdot\;)_{10}.\n

Passo 2

Entendendo como converter a parte inteira (aquela antes da vírgula):\n
A regra é a seguinte: cada dígito binário contribui com b_k\cdot 2^{k}, onde b_k é o dígito ( 0 ou 1) e k é a posição contada a partir do bit menos significativo (o da direita) começando em 0.\n
Para (1000101)_{2} identificamos os bits e suas posições (do mais à esquerda ao mais à direita):\n
  • bit 1 na posição 6\n- bit 0 na posição 5\n- bit 0 na posição 4\n- bit 0 na posição 3\n- bit 1 na posição 2\n- bit 0 na posição 1\n- bit 1 na posição 0\n
    Calculando cada contribuição:\n
1\cdot 2^{6} = 64
0\cdot 2^{5} = 0
0\cdot 2^{4} = 0
0\cdot 2^{3} = 0
1\cdot 2^{2} = 4
0\cdot 2^{1} = 0
1\cdot 2^{0} = 1
\text{Soma da parte inteira} = 64+0+0+0+4+0+1 = 69\n
Portanto, a parte inteira vale 69 em decimal.

Passo 3

Agora a parte fracionária (os dígitos após a vírgula):\n
A regra é análoga: cada dígito fracionário b_{-j} contribui com b_{-j}\cdot 2^{-j}, onde j=1 é o primeiro dígito após a vírgula, j=2 o segundo, e assim por diante.\n
Para a parte (1001)_{2} (quatro dígitos após a vírgula) temos:\n
  • primeiro dígito ( j=1): 1\cdot 2^{-1} = \tfrac{1}{2}\n
  • segundo dígito ( j=2): 0\cdot 2^{-2} = 0\n
  • terceiro dígito ( j=3): 0\cdot 2^{-3} = 0\n
  • quarto dígito ( j=4): 1\cdot 2^{-4} = \tfrac{1}{16}\n
    Somando as contribuições fracionárias:\n
\text{Parte fracionária} = \tfrac{1}{2} + 0 + 0 + \tfrac{1}{16} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{16}á\n
Para somar as frações coloque em denominador comum ( 16):\n
\tfrac{1}{2} = \tfrac{8}{16},\quad \tfrac{8}{16}+\tfrac{1}{16}=\tfrac{9}{16}\n
Em decimal, \tfrac{9}{16}=0,5625. Logo a parte fracionária vale 0,5625 em decimal.

Passo 4

Agora juntamos parte inteira e parte fracionária:\n
69 + \tfrac{9}{16} = \tfrac{69\cdot 16}{16} + \tfrac{9}{16} = \tfrac{1104}{16} + \tfrac{9}{16} = \tfrac{1113}{16}
\tfrac{1113}{16} = 69,5625\n
Dica rápida para a prova: converter a parte inteira e a parte fracionária separadamente costuma ser mais seguro e rápido. Para a fracional, memorize que 2^{-1}=0,5, 2^{-2}=0,25, 2^{-3}=0,125, 2^{-4}=0,0625 — isso agiliza bastante.

Passo 5

Conclusão final: o número binário (1000101,1001)_{2} corresponde ao número decimal (69,5625)_{10}.

Resposta

(69,5625)_{10}

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