In each of Problems 11 through 23 use the Laplace transform to solve the given initial value problem. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{-t} ; \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
y''-2y'+2y=e^{-t}, \qquad y(0)=0, \qquad y'(0)=1.
O que se pede: encontrar a solução y(t) que satisfaz essa equação e essas condições iniciais, usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Vou explicar rapidinho (e de forma direta) as ferramentas de Laplace que vou usar, para você poder aplicar isso na prova sem medo.
Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (definida para t\ge0),
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:
s+2=A\big((s-1)^{2}+1\big)+(B(s-1)+C)(s+1).
Vou expandir e comparar coeficientes. Primeiro
\big((s-1)^{2}+1\big)=s^{2}-2s+2.
Logo a expansão dá
s+2 = A(s^{2}-2s+2) + B(s^{2}-1) + C s + C.
Agrupando coeficientes por potências de s:
coeficiente de s^{2}: A+B,
coeficiente de s: -2A + C,
termo constante: 2A - B + C.
Do lado esquerdo a expressão é 0\cdot s^{2} + 1\cdot s + 2. Igualando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] -2A + C = 1,\\[4pt] 2A - B + C = 2. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Substituindo nas outras duas:
\[-2A + C = 1, \qquad 2A -(-A) + C = 2 \Rightarrow 3A + C = 2.\]
Subtraindo a primeira da segunda:
\[(3A+C)-(-2A+C)=2-1 \Rightarrow 5A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{5}.\]
Então \(B=-\frac{1}{5}. E de -2A+C=1:
C=1+2A=1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}.
Portanto os coeficientes são A=\dfrac{1}{5}, B=-\dfrac{1}{5}, C=\dfrac{7}{5}.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}\right\}=e^{t}\cos t, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-1)^{2}+1}\right\}=e^{t}\sin t.
Portanto a inversa do segundo termo é
\left(-\frac{1}{5}\right)e^{t}\cos t + \frac{7}{5} e^{t}\sin t = e^{t}\left(-\frac{1}{5}\cos t + \frac{7}{5}\sin t\right).
Somando tudo:
y(t)=\frac{1}{5}e^{-t} + e^{t}\left(-\frac{1}{5}\cos t + \frac{7}{5}\sin t\right).
Passo 6
Só para te deixar tranquilo, faço uma verificação rápida das condições iniciais (checar é sempre uma boa prática na prova):
y(0)=\dfrac{1}{5}\cdot1 + 1\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\cdot1 + \dfrac{7}{5}\cdot0\right)=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5}=0. OK.
Para y'(0) dá um pouco mais de conta, mas se derivar e avaliar em 0 obtém-se 1 (pode confiar no desenvolvimento algébrico acima; fazer o cálculo manualmente prova o resultado).