In each of Problems 24 through 26 find the Laplace transform Y(s)=\mathcal{L}{y} of the solution of the given initial value problem. A method of determining the inverse transform is developed in Section 6.3.
\quad y^{\prime \prime}+4 y=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leq t<\pi, \\\\ 0, & \pi \leq t<\infty ;\end{array} \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema inicial com a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar exatamente o que foi fornecido e o que se pede.
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime}+4y=f(t)\), onde \[f(t)=\begin{cases} 1, & 0\le t<\pi,\\[4pt] 0, & \pi\le t<\infty. \end{cases}
  • Condições iniciais: y(0)=1\] e \(y^\prime(0)=0.
  • O que se pede: encontrar a transformada de Laplace Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} da solução y(t).
Todas as informações relevantes estão acima: a equação linear de segunda ordem, o termo forçante por partes e as condições iniciais.]

Passo 2

Representar o termo forçante usando a função degrau (Heaviside) facilita o uso da transformada. Note que a função dada é igual a 1 até t=\pi e 0 depois, portanto podemos escrever
f(t)=1-u(t-\pi),
onde u(t-a) é a função degrau deslocada.
Vou lembrar duas fórmulas essenciais da transformada de Laplace que vou usar:
  • Transformada da derivada segunda: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y(0),y'(0) são dados, então \mathcal{L}\{y^{\prime\prime}\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).Aqui isso será usado com y(0)=1 e y'(0)=0.
  • Transformada da função degrau deslocada: para a\ge0, \mathcal{L}\{u(t-a)\} = \frac{e^{-a s}}{s}.Além disso, \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}.
Essas fórmulas vêm diretamente da definição da transformada de Laplace e das propriedades lineares; são ferramentas padrão para transformar equações diferenciais com termos por partes.

Passo 3

Agora aplico a transformada de Laplace na equação diferencial inteira, usando linearidade e as fórmulas acima.
Escrevo o lado direito f(t) na forma 1-u(t-\pi) e transformo:
\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{1\}-\mathcal{L}\{u(t-\pi)\}=\frac{1}{s}-\frac{e^{-\pi s}}{s}=\frac{1-e^{-\pi s}}{s}.
No lado esquerdo, aplicando \mathcal{L} em y^{\prime\prime}+4y e usando \mathcal{L}\{y^{\prime\prime}\}=s^{2}Y-s\,y(0)-y'(0) com y(0)=1,\;y'(0)=0, obtemos:
\mathcal{L}\{y^{\prime\prime}+4y\}=(s^{2}Y - s)+4Y=(s^{2}+4)Y - s.
Igualando as duas transformadas:
(s^{2}+4)Y(s)-s=\frac{1-e^{-\pi s}}{s}.

Passo 4

Isolo Y(s) resolvendo algebricamente a equação obtida no passo anterior.
(s^{2}+4)Y(s)=s+\frac{1-e^{-\pi s}}{s}.
Portanto
Y(s)=\frac{s+\dfrac{1-e^{-\pi s}}{s}}{s^{2}+4}.
É conveniente separar os termos para leitura e inversão futura:
Y(s)=\frac{s}{s^{2}+4}+\frac{1-e^{-\pi s}}{s\,(s^{2}+4)}.
Ou, reagrupando,
Y(s)=\frac{s}{s^{2}+4}+\frac{1}{s(s^{2}+4)}-\frac{e^{-\pi s}}{s(s^{2}+4)}.
Cada termo tem interpretação: o primeiro vem da condição inicial, o segundo da força constante 1 para t<\pi e o terceiro contém o fator exponencial e^{-\pi s} que representa a desativação em t=\pi.

Passo 5

(Observação didática curta sobre como proceder depois se quiser a solução no domínio do tempo.)
  • Para encontrar y(t) explicitamente, faria-se a decomposição em frações parciais de \dfrac{1}{s(s^{2}+4)} e usaria tabelas de transformada inversa; o termo com e^{-\pi s} gera uma contribuição atrasada (multiplicada por u(t-\pi)). Mas como a questão pede apenas Y(s), já concluímos o pedido.

Resposta

Y(s)=\frac{s}{s^{2}+4}+\frac{1-e^{-\pi s}}{s\,(s^{2}+4)}.

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