Each DE in Problems 23-30 is of the form given in (5).
In Problems 23-28 solve the given differential equation by using an appropriate substitution.
23. d yd x=(x+y+1)^2

Passo 1

O enunciado dá a EDO
dydx = (x + y + 1)^2
e pede uma solução via substituição apropriada. Vamos reconhecer que a combinação x+y+1 pode ser uma nova variável.

Passo 2

Defina
v = x + y + 1
Então
dvdx = 1 + dydx
e, usando dydx=(x+y+1)^2, obtemos
dvdx = 1 + v^2

Passo 3

A equação em v é separável:
dv1+v^2 = dx
Integramos ambos os lados:
integral dv1+v^2 = integral dx Longrightarrow arctan(v) = x + C

Passo 4

Voltemos à variável original com v = x+y+1. Isso dá
arctanl(x+y+1r) = x + C

Passo 5

Podemos isolar y escrevendo
x+y+1 = tan(x + C) Longrightarrow y = tan(x + C) - x - 1

Resposta

arctan(x+y+1) = x + C ou y = tan(x + C) - x - 1

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