Utilizando os axiomas de ordem, mostre que
Passo 1
Beleza, mano! O enunciado pede pra gente mostrar que, dados
, se \r
\r
então \r
então \r
\r
Isso é parte de axiomas de ordem nos reais. O que vamos usar: \r
Isso é parte de axiomas de ordem nos reais. O que vamos usar: \r
- Somar o mesmo número em ambos os lados preserva desigualdade. \r
- Multiplicar por número positivo preserva desigualdade. \r
- Se
então (vem do inverso aditivo). \r - Multiplicar por número negativo inverte a desigualdade.
Passo 2
Mostrar que
implica
. \r
Usa o axioma “se , então
” com
,
e
: \r
Usa o axioma “se
\r
Logo .
Logo
Passo 3
Agora pega a desigualdade
e multiplica por
, que já sabemos ser positivo. \r
Pelo axioma “se e
, então
”, com
,
,
, dá \r
Pelo axioma “se
Passo 4
Reescreve
como
. De fato,
, então \r
\r
e idem para . Assim nossa desigualdade vira \r
e idem para
Passo 5
Por fim, multiplica essa desigualdade por
, que é negativo. Ao multiplicar por negativo, a desigualdade inverte: \r
\r
Mas e
. Logo \r
Mas