Utilizando os axiomas de ordem, mostre que forall a, b, c, d in R
(a<b wed>= c<0) Rightarrow a cdot c>b cdot c

Passo 1

Beleza, mano! O enunciado pede pra gente mostrar que, dados a,b,cinR, se \r
a<be c<0
\r
então \r
acdot c>bcdot c,
\r
Isso é parte de axiomas de ordem nos reais. O que vamos usar: \r
  • Somar o mesmo número em ambos os lados preserva desigualdade. \r
  • Multiplicar por número positivo preserva desigualdade. \r
  • Se c<0 então -c>0 (vem do inverso aditivo). \r
  • Multiplicar por número negativo inverte a desigualdade.

Passo 2

Mostrar que c<0 implica -c>0. \r
Usa o axioma “se x<y, então x+z<y+z” com x=c, y=0 e z=-c: \r
c + (-c) < 0 + (-c) ;Longrightarrow; 0 < -c
\r
Logo -c>0.

Passo 3

Agora pega a desigualdade a<b e multiplica por -c, que já sabemos ser positivo. \r
Pelo axioma “se x<y e z>0, então xz<yz”, com x=a, y=b, z=-c, dá \r
acdot(-c);<;bcdot(-c),

Passo 4

Reescreve acdot(-c) como -(ac). De fato, -c=(-1)cdot c, então \r
acdot(-c)=al((-1)cdot cr)=(acdot(-1))cdot c=-(a)cdot c=-(ac),,
\r
e idem para bcdot(-c)=-(bc). Assim nossa desigualdade vira \r
-(ac);<;-(bc),

Passo 5

Por fim, multiplica essa desigualdade por -1, que é negativo. Ao multiplicar por negativo, a desigualdade inverte: \r
(-1)cdotl[-(ac)r];>;(-1)cdotl[-(bc)r],
\r
Mas (-1)cdot[-(ac)]=ac e (-1)cdot[-(bc)]=bc. Logo \r
ac;>;bc,

Resposta

acdot c > bcdot c

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