Tente explicar as seguintes propriedades da ordem dos números reais: Sejam quaisquer
(j) Se
se e somente se
(j) Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para quaisquer reais
e
, vale
O conteúdo é marcação de sinais na multiplicação: precisamos usar que, ao multiplicar ou dividir por número positivo a desigualdade não se inverte, e que ao multiplicar dois números negativos o resultado é positivo.
Passo 2
Prova de “
”. Suponha
.
Se , então ao dividir
por
não mudamos a desigualdade, obtendo
Se
Logo nesse caso
e
.
Se , temos
e portanto
e
pode ser qualquer real – mas como
também satisfaz
, encaixa-se no caso dos dois não-negativos.
Se , ao dividir
por
a desigualdade inverte, ficando
Se
Se
Nesse caso
e
.
Assim, em todos os subcasos, concluímos que ou ambos são não-negativos ou ambos são não-positivos.
Assim, em todos os subcasos, concluímos que ou ambos são não-negativos ou ambos são não-positivos.
Passo 3
Prova de “
”.
Caso 1: e
. Como o produto de dois números não-negativos é não-negativo, segue
Caso 1:
Caso 2:
e
. Então
e
, e pelo caso anterior
Mas
, logo
.
Resposta
Mostramos as duas direções, logo