Tente explicar as seguintes propriedades da ordem dos números reais: Sejam quaisquer a, b, c in R
(j) Se a cdot b >= 0 se e somente se
(a >= 0 e b >= 0) ou (a <= 0 e b <= 0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para quaisquer reais a e b, vale
acdot b >= 0 Long<=ftrightarrow l(a>=0 e b>=0r);ou;l(a<=0 e b<=0r)
O conteúdo é marcação de sinais na multiplicação: precisamos usar que, ao multiplicar ou dividir por número positivo a desigualdade não se inverte, e que ao multiplicar dois números negativos o resultado é positivo.

Passo 2

Prova de “ Longrightarrow”. Suponha acdot b>=0.
Se a>0, então ao dividir acdot b>=0 por a>0 não mudamos a desigualdade, obtendo
b >= 0
Logo nesse caso a>=0 e b>=0.
Se a=0, temos acdot b=0>=0 e portanto a<=0 e b pode ser qualquer real – mas como a=0 também satisfaz a>=0, encaixa-se no caso dos dois não-negativos.
Se a<0, ao dividir acdot b>=0 por a<0 a desigualdade inverte, ficando
b <= 0
Nesse caso a<=0 e b<=0.
Assim, em todos os subcasos, concluímos que ou ambos são não-negativos ou ambos são não-positivos.

Passo 3

Prova de “ Long<=ftarrow”.
Caso 1: a>=0 e b>=0. Como o produto de dois números não-negativos é não-negativo, segue
acdot b >= 0
Caso 2: a<=0 e b<=0. Então -a>=0 e -b>=0, e pelo caso anterior
(-a)cdot(-b)>=0
Mas (-a)cdot(-b)=acdot b, logo acdot b>=0.

Resposta

Mostramos as duas direções, logo
acdot b >= 0 Long<=ftrightarrow l(a>=0 e b>=0r);ou;l(a<=0 e b<=0r)

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