Problems 28 through 36 are concerned with differentiation of the Laplace transform.
Let
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t) d t
It is possible to show that as long as f satisfies the conditions of Theorem 6.1.2, it is legitimate to differentiate under the integral sign with respect to the parameter s when s>a.
(a) Show that F^{\prime}(s)=\mathcal{L}\{-t f(t)\}\\ (b) Show that \(F^{(n)}(s)=\mathcal{L}\left\{(-t)^{n} f(t)\right\}; hence differentiating the Laplace transform corresponds to multiplying the original function by -t.)
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,d t,
com a hipótese (pela referência ao Teorema 6.1.2) de que f é de ordem exponencial e que para s>a é legítimo diferenciar sob o sinal de integral. As perguntas são:
(a) Mostrar que F^{\prime}(s)=\mathcal{L}\{-t f(t)\}.
(b) Mostrar que F^{(n)}(s)=\mathcal{L}\left\{(-t)^{n} f(t)\right\} e, portanto, que derivar a transformada equivale a multiplicar f por -t.
Passo 2
Explicar por que se pode diferenciar sob o integral (breve aula): defina a função de duas variáveis
Para poder aplicar a regra de diferenciação sob o sinal de integral precisamos que \frac{\partial}{\partial s}g(t,s) seja integrável em t e que exista uma função dominadora integrável independente de s em algum intervalo s\ge s_0>a. Como f é de ordem exponencial a, existe M>0 tal que |f(t)|\le M e^{a t} para t\ge0. Então, para s>a,
\bigl|t e^{-s t} f(t)\bigr|\le M\, t e^{-(s-a)t}.
A função t\mapsto M t e^{-(s-a)t} é integrável em [0,\infty) porque a integral
\int_{0}^{\infty} t e^{-(s-a)t}\,dt
converge (é uma integral de tipo gama; por exemplo vale \dfrac{1}{(s-a)^2}). Assim existe uma função integrável que domina |\frac{\partial}{\partial s}g(t,s)|, e pelo teorema da diferenciação por parâmetro (ou por convergência dominada), é legítimo trocar derivada e integral para s>a.
Passo 3
Agora calcule a derivada de F trocando derivada e integral (justificado no passo anterior):
Passo indutivo: diferencie novamente. Pelo mesmo argumento de dominância (agora com a função dominadora proporcional a t^{\,n+1}e^{-(s-a)t}, cuja integral converge porque é proporcional à função gama), pode-se trocar derivada e integral e obter
Interpretação final e observação útil: derivar F corresponde no domínio do tempo a multiplicar f(t) por -t. Equivalentemente, pode-se escrever a identidade frequentemente usada:
\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\}(s)=(-1)^{n}F^{(n)}(s),
válida sob as mesmas hipóteses de troca de integral e derivada. Força aí — sempre que vir uma derivada de F pense em um fator -t agindo sobre f.