Show that the Bessel equation of order one-half
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-14) y=0, x>0
can be reduced to the equation
v^prime prime+v=0
by the change of dependent variable y=x^-1 / 2 v(x). From this, conclude that y1(x)=x^-1 / 2 cos x and y2(x)=x^-1 / 2 sin x are solutions of the Bessel equation of order one-half.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Bessel de ordem 1/2:
x^2y''+x y'+l(x^2-tfrac14r)y=0,
e nos pede para usar a mudança de variável
y(x)=x^-1/2v(x)
para mostrar que obtemos a equação
v''+v=0
em seguida deduzir que
y1(x)=x^-1/2cos x e y2(x)=x^-1/2sin x são soluções da equação de Bessel de ordem 1/2.

Passo 2

Derivamos y(x)=x^-1/2v(x) usando a regra do produto e potência:
y'=ddx(x^-1/2),v + x^-1/2v' = -tfrac12x^-3/2v + x^-1/2v',
y''=ddxl(-tfrac12x^-3/2v + x^-1/2v'r) = tfrac34x^-5/2v - x^-3/2v' - tfrac12x^-3/2v' + x^-1/2v'' = tfrac34x^-5/2v - tfrac32x^-3/2v' + x^-1/2v''

Passo 3

Agora substituímos y, y' e y'' na equação original:
x^2l(tfrac34x^-5/2v - tfrac32x^-3/2v' + x^-1/2v''r) + xl(-tfrac12x^-3/2v + x^-1/2v'r) + l(x^2-tfrac14r)x^-1/2v = 0
Multiplicando e reagru-pando os termos em potências de x obtemos
tfrac34x^-1/2v - tfrac32x^1/2v' + x^3/2v'' - tfrac12x^-1/2v + x^1/2v' + x^3/2v - tfrac14x^-1/2v = 0
Observe que os termos em x^-1/2v cancelam e os de x^1/2v' também, sobrando
x^3/2v'' + x^3/2v = 0
ou seja
v'' + v = 0

Passo 4

A equação v''+v=0 é a equação do movimento harmônico simples. Sua solução geral é
v(x) = Acos x + Bsin x
Dessa forma, as duas soluções independentes para y são
y1(x)=x^-1/2cos x,
y2(x)=x^-1/2sin x

Resposta

y_{1}(x)=x^{-1/2}\cos x e y_{2}(x)=x^{-1/2}\sin x

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