Show that the Bessel equation of order one-half
can be reduced to the equation
by the change of dependent variable
. From this, conclude that
and
are solutions of the Bessel equation of order one-half.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Bessel de ordem 1/2:
e nos pede para usar a mudança de variável
para mostrar que obtemos a equação
em seguida deduzir que
e
são soluções da equação de Bessel de ordem 1/2.
Passo 2
Derivamos
usando a regra do produto e potência:
Passo 3
Agora substituímos
,
e
na equação original:
Multiplicando e reagru-pando os termos em potências de
obtemos
Observe que os termos em
cancelam e os de
também, sobrando
ou seja
Passo 4
A equação
é a equação do movimento harmônico simples. Sua solução geral é
Dessa forma, as duas soluções independentes para
são
Resposta
y_{1}(x)=x^{-1/2}\cos x e y_{2}(x)=x^{-1/2}\sin x