O objetivo deste exercício é provar que se \overline{A C} \subset \overrightarrow{A B} e d(A, C)<d(A, B), então C está entre A e B. Para isso, faça o que se pede:
(a) Justifique por que A não pode estar entre B e C, utilizando para isso a definição de semirreta.
(b) Mostre que supor que B está entre A e C levaria a uma contradição com o Axioma \mathrm{III}_{3}.
(c) Conclua, usando um dos axiomas de ordem, que C está entre A e B. Qual Axioma foi utilizado?
Passo 1
Enunciado e dados que temos (clarinho, sem resolver ainda):
Dado que \overline{A C} \subset \overrightarrow{A B}. Em palavras: todo ponto do segmento \overline{A C}, em particular C, pertence à semirreta \overrightarrow{A B}.
Dado que d(A,C)<d(A,B). Isto é, a distância de C a A é menor que a distância de B a A.
Objetivo: provar que C está entre A e B (isto é, C é o ponto interior do segmento \overline{A B}).
Também vamos precisar destas informações/definições que o enunciado usa implicitamente (vou apresentá‑las claramente mais adiante, quando usá‑las):
Definição de semirreta \overrightarrow{A B} (o que significa que um ponto X pertence a \overrightarrow{A B}).
Propriedade de comprimentos quando um ponto está entre outros (se X está entre Y e Z, então d(Y,Z)=d(Y,X)+d(X,Z)).
Axioma \mathrm{III}_3 (axioma de ordem que trata da unicidade do ponto entre três pontos colineares).
A resolução começa de verdade a seguir.
Passo 2
Definição de semirreta e conclusão imediata para a parte (a).
Definição (forma conveniente): um ponto X pertence à semirreta \overrightarrow{A B} se, e somente se, A,B,X são colineares e não ocorre que A esteja entre B e X. Em outras palavras, a semirreta \overrightarrow{A B} é o conjunto dos pontos X da reta AB que ficam no mesmo “lado” de A que B; portanto, para qualquer X\in\overrightarrow{A B} dizemos que «A não está entre B e X».
Aplicando essa definição ao nosso dado: como \overline{A C}\subset\overrightarrow{A B}, em particular C\in\overrightarrow{A B}. Pela definição, para esse C vale que A não está entre B e C.
Conclusão da parte (a): não é possível que A esteja entre B e C, porque isso contradiz exatamente a definição de C\in\overrightarrow{A B}.
(Dica prática para a prova: quando souber que um ponto pertence a \overrightarrow{A B}, memorize: “A não está entre B e esse ponto”. Isso resolve muitos casos rápido.)
Passo 3
Enunciado do Axioma \mathrm{III}_3 (que vamos usar) e observação útil sobre três pontos colineares.
Axioma \mathrm{III}_3 (axioma de ordem, forma clara): para três pontos distintos P,Q,R colineares, exatamente um dos três está entre os outros dois. Ou seja, entre três pontos colineares há um e só um ponto que fica entre os outros dois.
Consequência prática: dada uma tripla colinear distinta (A,B,C), exatamente uma das situações ocorre: A entre B e C, ou B entre A e C, ou C entre A e B.
Já sabemos pelo passo anterior que, no nosso caso, não ocorre a primeira possibilidade (A não está entre B e C). Então, pela exclusividade dada em \mathrm{III}_3, entre as duas restantes — ou B está entre A e C ou C está entre A e B — exatamente uma deve ocorrer. Vamos analisar qual.
Passo 4
Propriedade dos comprimentos quando um ponto está entre outros (ferramenta que usaremos).
Fato importante (propriedade de adição de segmentos): se um ponto X está entre Y e Z, então vale
d(Y,Z)=d(Y,X)+d(X,Z).
Uma consequência imediata: se X está entre Y e Z, então d(Y,X)<d(Y,Z) e d(X,Z)<d(Y,Z) (pois somando dois comprimentos positivos obtém‑se o comprimento maior).
Vamos usar essa propriedade para comparar d(A,B) e d(A,C) nas hipóteses de betweenness.
Passo 5
Mostramos que a hipótese “B está entre A e C” conduz a uma contradição (parte (b)).
Suponha, para chegar a contradição, que B esteja entre A e C.
Pela propriedade de adição de segmentos, se B está entre A e C então
d(A,C)=d(A,B)+d(B,C).
Daí segue imediatamente que
d(A,B)<d(A,C).
Mas estamos dados que d(A,C)<d(A,B). Portanto, sob a suposição B entre A e C obtemos simultaneamente d(A,B)<d(A,C) e d(A,C)<d(A,B), uma contradição aritmética impossível.
Outra maneira de ver a contradição relacionando com o Axioma \mathrm{III}_3: como C\in\overrightarrow{A B}, os pontos A,B,C são colineares e A não está entre B e C (Passo 2). Então, por \mathrm{III}_3, ou B está entre A e C ou C está entre A e B. Se assumíssemos B entre A e C então, pelas desigualdades de distância acima, seria forçado também que C estivesse entre A e B (já que d(A,C)<d(A,B) coloca C mais próximo de A do que B está), e assim teríamos dois pontos distintos (B e C) que estariam entre os outros dois — o que viola a unicidade afirmada por \mathrm{III}_3. Logo a suposição leva a contradição com \mathrm{III}_3.
Portanto a hipótese “B está entre A e C” é impossível.
Passo 6
Conclusão final usando o axioma de ordem (parte (c)).
Recapitulando: para a tripla colinear A,B,C já mostramos que não pode ser verdade que A esteja entre B e C (Passo 2) e também não pode ser verdade que B esteja entre A e C (Passo 5).
Pelo Axioma \mathrm{III}_3 (que diz que, entre três pontos colineares, exatamente um está entre os outros dois), a única possibilidade restante é que C esteja entre A e B.
Assim concluímos que C está entre A e B. O axioma utilizado para fazer essa dedução é \mathrm{III}_3.
Resposta
(a) A não pode estar entre B e C.
(b) A suposição “B está entre A e C” leva a contradição (pois implicaria d(A,B)<d(A,C), contradizendo d(A,C)<d(A,B); também levaria a violar a unicidade de betweenness do axioma \mathrm{III}_3).
(c) Logo C está entre A e B. Axioma utilizado: \mathrm{III}_3.