Utilizando o “Axioma do Transferidor”, justifique que qualquer ângulo possui bissetriz.

Passo 1

O que o enunciado pede: justificar que qualquer ângulo tem bissetriz (isto é, dado um ângulo, existe uma reta/raio que o divide em duas partes com a mesma medida).\n
Informações dadas que podemos usar: o “Axioma do Transferidor” (vou explicitar o que isso significa e usar suas propriedades).\n
Dados concretos que vamos considerar: seja um ângulo qualquer com vértice O e lados representados pelos raios OA e OB. A pergunta é: existe um raio OC tal que \angle AOC=\angle COB? Se sim, esse OC é a bissetriz.

Passo 2

O que é o “Axioma do Transferidor” (explicação didática): o axioma diz, em linguagem útil para construção e medição, que podemos associar a cada raio com origem em O (num semicírculo determinado por uma direção de referência) um número em [0,180] que representa sua posição angular, de forma contínua, bijetiva e que preserva a ordem. Vou colocar isso de forma mais precisa e prática.\n
Definição prática (construção de um sistema de medidas a partir de um raio de referência): escolhemos um raio de referência — por exemplo OA — e definimos uma função
f
que associa a cada raio OX (no lado interior do ângulo que estamos medindo) um número em [0,180], com as propriedades:
  • f(OA)=0 (o raio de referência recebe medida zero);
  • f é bijetora sobre [0,180] (para cada valor em [0,180] existe um e só um raio correspondente);
  • f preserva a ordem: se um raio OX está “entre” OA e OY, então f(OX) está entre f(OA)=0 e f(OY).\n
    Interpretação: a medida do ângulo formado por dois raios OX e OY (com f(OX)\le f(OY)) é
\text{med}(\angle XOY)=f(OY)-f(OX).
Essa é a formalização do que o transferidor faz: dá uma escala numérica contínua e única para as direções dos raios.

Passo 3

Aplicando o axioma ao nosso ângulo: escolha o raio OA como referência, então por definição f(OA)=0. Seja
\theta = \text{med}(\angle AOB).
Pelo que falei acima, com OA de referência isso significa
\theta = f(OB)-f(OA)=f(OB)-0=f(OB).
Logo \theta\in[0,180]. Agora, como \theta é um número real em [0,180], o número \dfrac{\theta}{2} também pertence a [0,180].

Passo 4

Existência da bissetriz (usar diretamente o axioma): pela propriedade de bijetividade do axioma do transferidor, existe um único raio OC tal que
f(OC)=\frac{\theta}{2}.
Calculemos as medidas dos ângulos:
\text{med}(\angle AOC)=f(OC)-f(OA)=\frac{\theta}{2}-0=\frac{\theta}{2},
e
\text{med}(\angle COB)=f(OB)-f(OC)=\theta-\frac{\theta}{2}=\frac{\theta}{2}.
Portanto OC divide \angle AOB em duas partes de igual medida, ou seja, OC é uma bissetriz do ângulo. Isso prova a existência.

Passo 5

Unicidade da bissetriz (por injetividade): suponha que exista outro raio OC' que também bisseta \angle AOB. Pelo mesmo raciocínio teríamos
f(OC')=\frac{\theta}{2}.
Mas a função f é bijetora (em particular injetora), então de f(OC')=f(OC) segue OC'=OC. Logo a bissetriz é única.

Passo 6

Como fazer isso na prova ou numa construção prática (receita estilo “faça você mesmo” com o transferidor): coloque o centro do transferidor em O, faça OA corresponder ao zero do transferidor, meça \theta= a medida de \angle AOB, calcule \dfrac{\theta}{2}, marque no transferidor o ponto correspondente a \dfrac{\theta}{2} a partir de OA e trace o raio OC passando por esse ponto. Esse OC é a bissetriz. O axioma garante que esse procedimento tem sentido e que o raio marcado é único.

Passo 7

Observações sobre casos extremos (para não ser pego de surpresa na prova):\n
  • Se \theta=0 (os dois raios coincidem), então \dfrac{\theta}{2}=0 e o axioma dá OC=OA: a “bissetriz” é o próprio raio comum (única).\n
  • Se \theta=180^\circ (ângulo raso), então \dfrac{\theta}{2}=90^\circ e existe um único raio OC que fica perpendicular a OA no semicírculo interior; ele é a bissetriz (única no interior do semicírculo considerado).\n
    Em ambos os casos a existência e a unicidade continuam válidas graças às propriedades do axioma.

Passo 8

Recapitulando didaticamente: o Axioma do Transferidor nos dá uma maneira de transformar direções de raios em números de 0 a 180 de forma contínua e bijetiva; assim, a medida do ângulo é um número \theta, metade desse número é \theta/2, e pela bijetividade existe um raio que corresponde exatamente a \theta/2. Esse raio é a bissetriz, e é único pela injetividade. Portanto, usando o axioma, mostramos claramente existência e unicidade da bissetriz.

Resposta

Para todo ângulo existe uma única bissetriz.

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