Utilizando o “Axioma do Transferidor”, justifique que qualquer ângulo possui bissetriz.
Passo 1
O que o enunciado pede: justificar que qualquer ângulo tem bissetriz (isto é, dado um ângulo, existe uma reta/raio que o divide em duas partes com a mesma medida).\n
Informações dadas que podemos usar: o “Axioma do Transferidor” (vou explicitar o que isso significa e usar suas propriedades).\n
Dados concretos que vamos considerar: seja um ângulo qualquer com vértice e lados representados pelos raios
e
. A pergunta é: existe um raio
tal que
? Se sim, esse
é a bissetriz.
Informações dadas que podemos usar: o “Axioma do Transferidor” (vou explicitar o que isso significa e usar suas propriedades).\n
Dados concretos que vamos considerar: seja um ângulo qualquer com vértice
Passo 2
O que é o “Axioma do Transferidor” (explicação didática): o axioma diz, em linguagem útil para construção e medição, que podemos associar a cada raio com origem em
(num semicírculo determinado por uma direção de referência) um número em
que representa sua posição angular, de forma contínua, bijetiva e que preserva a ordem. Vou colocar isso de forma mais precisa e prática.\n
Definição prática (construção de um sistema de medidas a partir de um raio de referência): escolhemos um raio de referência — por exemplo — e definimos uma função
Definição prática (construção de um sistema de medidas a partir de um raio de referência): escolhemos um raio de referência — por exemplo
que associa a cada raio
(no lado interior do ângulo que estamos medindo) um número em
, com as propriedades:
-
(o raio de referência recebe medida zero); -
é bijetora sobre (para cada valor em existe um e só um raio correspondente); -
preserva a ordem: se um raio está “entre” e , então está entre e .\n
Interpretação: a medida do ângulo formado por dois raiose (com ) é
Essa é a formalização do que o transferidor faz: dá uma escala numérica contínua e única para as direções dos raios.
Passo 3
Aplicando o axioma ao nosso ângulo: escolha o raio
como referência, então por definição
. Seja
Pelo que falei acima, com
de referência isso significa
Logo
. Agora, como
é um número real em
, o número
também pertence a
.
Passo 4
Existência da bissetriz (usar diretamente o axioma): pela propriedade de bijetividade do axioma do transferidor, existe um único raio
tal que
Calculemos as medidas dos ângulos:
e
Portanto
divide
em duas partes de igual medida, ou seja,
é uma bissetriz do ângulo. Isso prova a existência.
Passo 5
Unicidade da bissetriz (por injetividade): suponha que exista outro raio
que também bisseta
. Pelo mesmo raciocínio teríamos
Mas a função
é bijetora (em particular injetora), então de
segue
. Logo a bissetriz é única.
Passo 6
Como fazer isso na prova ou numa construção prática (receita estilo “faça você mesmo” com o transferidor): coloque o centro do transferidor em
, faça
corresponder ao zero do transferidor, meça
a medida de
, calcule
, marque no transferidor o ponto correspondente a
a partir de
e trace o raio
passando por esse ponto. Esse
é a bissetriz. O axioma garante que esse procedimento tem sentido e que o raio marcado é único.
Passo 7
Observações sobre casos extremos (para não ser pego de surpresa na prova):\n
- Se
(os dois raios coincidem), então e o axioma dá : a “bissetriz” é o próprio raio comum (única).\n - Se
(ângulo raso), então e existe um único raio que fica perpendicular a no semicírculo interior; ele é a bissetriz (única no interior do semicírculo considerado).\n
Em ambos os casos a existência e a unicidade continuam válidas graças às propriedades do axioma.
Passo 8
Recapitulando didaticamente: o Axioma do Transferidor nos dá uma maneira de transformar direções de raios em números de
a
de forma contínua e bijetiva; assim, a medida do ângulo é um número
, metade desse número é
, e pela bijetividade existe um raio que corresponde exatamente a
. Esse raio é a bissetriz, e é único pela injetividade. Portanto, usando o axioma, mostramos claramente existência e unicidade da bissetriz.
Resposta
Para todo ângulo existe uma única bissetriz.