Econtre os (possiveis) valores para t tais que a matriz A abaixo tenha (a) posto 1; (b) posto 2 ; (c) posto 3.
A=[lll t & 1 & 1 1 & t & 1 1 & 1 & t ]
(Sugestão: Uma matriz e sua forma escalonada possuem o mesmo posto. Então escalonem A, tomando cuidado com o fato de que t pode ser eventualmente nulo.)

Passo 1

Temos a matriz
A= t & 1 & 1 1 & t & 1 1 & 1 & t
e queremos os valores de t que fazem o posto de A ser 1, 2 ou 3.
Para isso, vamos usar o fato de que o posto é a maior ordem de um menor não nulo:
– Se existir algum menor de ordem 3 não nulo, o posto é 3.
– Caso o menor de ordem 3 seja zero mas algum menor de ordem 2 seja não nulo, o posto é 2.
– Se todos os menores de ordem 2 forem zero mas houver algum elemento não zero, o posto é 1.

Passo 2

Calculemos o menor de ordem 3, isto é, det A. Uma forma rápida é usar que esta matriz tem todos os off-diagonais iguais a 1 e os diagonais iguais a t. O determinante sai
det A = (t+2)(t-1)^2

Passo 3

Agora avaliamo um menor de ordem 2. Por exemplo, a submatriz formada pelas linhas 1 e 2 e colunas 1 e 2 é
t & 1 1 & t,
cujo determinante é
t^2 - 1
Outro menor de ordem 2, linhas 1 e 2 e colunas 1 e 3, é
t & 1 1 & 1,
com determinante
t - 1

Passo 4

Posto 3: precisamos det Aneq0. Logo
(t+2)(t-1)^2 neq 0
implica
tneq -2 e tneq 1

Passo 5

Posto 2: queremos det A=0 e algum menor de ordem 2 não nulo.
det A=0 t=-2 ou t=1.
  • Se t=-2, então det A=0 mas o menor t-1=-3neq0, logo posto =2.
  • Se t=1, todos os menores de ordem 2 valem zero, então o posto não é 2.

Passo 6

Posto 1: precisamos det A=0 e todos os menores de ordem 2 nulos. Isso ocorre somente em
t=1

Resposta

(a) posto 1: t=1
(b) posto 2: t=-2
(c) posto 3: tneq1 e tneq -2

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