Seja A=[A1 A2 A3, A4] uma matriz 4 times 4, onde Ai in R^4 são suas colunas, escritas como vetores-coluna. Seja B in R^4 um vetor-coluna. Mostre que se A1, A2, A3, A4 for L.D.e A1, A2, B, A4 for L.I, então o sistema linear A X=B não possui solução.

Passo 1

O enunciado trata do sistema linear
A X = B,
onde A=[A1;A2;A3;A4] é uma matriz 4times4 cujas colunas AiinR^4 satisfazem que o conjunto A1,A2,A3,A4 é linearmente dependente, enquanto A1,A2,B,A4 é linearmente independente. O objetivo é mostrar que, sob essas hipóteses, o sistema não tem solução. Vamos usar conceitos de posto (rank) de matriz e condição de existência de solução em termos de ranks.

Passo 2

Lembramos que um sistema A X = B tem solução se, e somente se, o vetor-coluna B pertencer ao espaço gerado pelas colunas de A. Em termos de ranks isso equivale a
rank(A) ;=;rank([,Amid B,]),
onde [,Amid B,] é a matriz aumentada obtida de A adicionando-se B como quinta coluna.

Passo 3

Como A1,A2,A3,A4 é linearmente dependente em R^4, o número máximo de colunas linearmente independentes de A é menor do que 4. Logo
rank(A)<=3

Passo 4

Por outro lado, A1,A2,B,A4 é um conjunto de quatro vetores linearmente independentes em R^4. Isto implica que a matriz formada por essas quatro colunas tem posto 4. Em particular, a matriz aumentada [,Amid B,] contém esse subconjunto de colunas, de modo que
rank([,Amid B,])>=4
Mas como [,Amid B,] tem no máximo 4 linhas, concluímos
rank([,Amid B,])=4

Passo 5

Agora basta comparar os ranks:
rank(A)<=3 e rank([,Amid B,])=4
Como rank(A)neqrank([,Amid B,]), a condição necessária para existência de solução falha.

Resposta

O sistema A X = B não possui solução.

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