Seja
uma matriz
, onde
são suas colunas, escritas como vetores-coluna. Seja
um vetor-coluna. Mostre que se
for L.D.e
for L.I, então o sistema linear
não possui solução.
Passo 1
O enunciado trata do sistema linear
onde
é uma matriz
cujas colunas
satisfazem que o conjunto
é linearmente dependente, enquanto
é linearmente independente. O objetivo é mostrar que, sob essas hipóteses, o sistema não tem solução. Vamos usar conceitos de posto (rank) de matriz e condição de existência de solução em termos de ranks.
Passo 2
Lembramos que um sistema
tem solução se, e somente se, o vetor-coluna
pertencer ao espaço gerado pelas colunas de
. Em termos de ranks isso equivale a
onde
é a matriz aumentada obtida de
adicionando-se
como quinta coluna.
Passo 3
Como
é linearmente dependente em
, o número máximo de colunas linearmente independentes de
é menor do que
. Logo
Passo 4
Por outro lado,
é um conjunto de quatro vetores linearmente independentes em
. Isto implica que a matriz formada por essas quatro colunas tem posto
. Em particular, a matriz aumentada
contém esse subconjunto de colunas, de modo que
Mas como
tem no máximo
linhas, concluímos
Passo 5
Agora basta comparar os ranks:
Como
, a condição necessária para existência de solução falha.
Resposta
O sistema
não possui solução.