Sejam e matrizes quadradas de ordem . Mostre que .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer matrizes quadradas de ordem , vale
O conteúdo que vamos usar é a definição de determinante pela soma sobre as permutações do grupo simétrico e as propriedades de multilinearidade e antissimetria que fazem com que certas somas se anulem.
Passo 2
Pela definição de determinante em termos de permutações, temos
Como , segue
Passo 3
Expandindo o produto de somas por distributividade, obtemos uma soma sobre todos os -tuplos :
Reorganizamos a soma trocando a ordem de somatório.
Passo 4
No termo (*) aparece
sumsigmain Snsgn(sigma), prodi=1^n Bki,sigma(i)
Se os índices k1,dots,kn não formam uma permutação (isto é, há repetição), então duas linhas iguais de B aparecem no produto e a soma alternada sobre sigma anula-se (propriedade de antissimetria do determinante). Já se (k1,dots,kn) for uma permutação tau, ou seja ki=tau(i), então
sumsigmain Snsgn(sigma), prodi=1^n Btau(i),sigma(i) =sgn(tau)sumsigmain Snsgn(sigmatau^-1), prodi=1^n Bi,(sigmatau^-1)(i) =sgn(tau)det B
Passo 5
Assim a soma sobre todos os n-tuplos reduz-se à soma sobre permutações tauin Sn:
det(AB) =sumtauin Snl(prodi=1^n Ai,tau(i)r),sgn(tau),det B =l(sumtauin Snsgn(tau),prodi=1^n Ai,tau(i)r),det B
Pela definição, o somatório entre parênteses é exatamente det A.