Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Mostre que det(A B)=det A cdot det B.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer matrizes quadradas A,B de ordem n, vale
det(AB)=det A;det B
O conteúdo que vamos usar é a definição de determinante pela soma sobre as permutações do grupo simétrico Sn e as propriedades de multilinearidade e antissimetria que fazem com que certas somas se anulem.

Passo 2

Pela definição de determinante em termos de permutações, temos
det(AB) =sumsigmain Snsgn(sigma),prodi=1^n(AB),i,sigma(i)
Como (AB)i,sigma(i)=sumk=1^nAi,k,Bk,sigma(i), segue
det(AB) =sumsigmain Snsgn(sigma), prodi=1^nl(sumki=1^nAi,ki,Bki,sigma(i)r)

Passo 3

Expandindo o produto de somas por distributividade, obtemos uma soma sobre todos os n-tuplos (k1,dots,kn):
det(AB) =sumk1,dots,kn=1^nl(,prodi=1^n Ai,kir) underbracel(sumsigmain Snsgn(sigma), prodi=1^n Bki,sigma(i)r)(*)
Reorganizamos a soma trocando a ordem de somatório.

Passo 4

No termo (*) aparece
sumsigmain Snsgn(sigma), prodi=1^n Bki,sigma(i)
Se os índices k1,dots,kn não formam uma permutação (isto é, há repetição), então duas linhas iguais de B aparecem no produto e a soma alternada sobre sigma anula-se (propriedade de antissimetria do determinante). Já se (k1,dots,kn) for uma permutação tau, ou seja ki=tau(i), então
sumsigmain Snsgn(sigma), prodi=1^n Btau(i),sigma(i) =sgn(tau)sumsigmain Snsgn(sigmatau^-1), prodi=1^n Bi,(sigmatau^-1)(i) =sgn(tau)det B

Passo 5

Assim a soma sobre todos os n-tuplos reduz-se à soma sobre permutações tauin Sn:
det(AB) =sumtauin Snl(prodi=1^n Ai,tau(i)r),sgn(tau),det B =l(sumtauin Snsgn(tau),prodi=1^n Ai,tau(i)r),det B
Pela definição, o somatório entre parênteses é exatamente det A.

Resposta

det(AB)=det A;det B

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