Em um ecossistema, três espécies e competem por recursos naturais. A evolução de suas populações é governada pelo sistema:
(b) Qual a evolução de cada uma das espécies em 10 anos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três espécies que competem por recursos em um ecossistema, e a mudança nas populações delas ao longo do tempo é descrita por um sistema de equações diferenciais. Nosso objetivo aqui é descobrir como cada uma dessas espécies vai evoluir ao longo de 10 anos. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver sistemas de equações diferenciais lineares e aplicar isso para encontrar as populações das espécies após esse período.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar nosso trabalho:
l d x1d t = -2 x1 + x2 d x2d t = x1 - x2 + x3 d x3d t = x2 - 2 x3
Aqui, $ x_{1}(t) $, $ x_{2}(t) $ e $ x_{3}(t) $ representam as populações das três espécies no tempo $ t $.
Passo 3
Agora, vamos representar esse sistema de equações em forma de matriz. Isso ajuda a visualizar melhor as relações entre as variáveis:
dxdt = A x
Onde $ \mathbf{x} = x = x1 x2 x3 $ e a matriz $ A $ é:
A
Passo 4
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar as soluções gerais das equações diferenciais. Isso geralmente envolve encontrar os autovalores e autovetores da matriz $ A $. Os autovalores nos dizem como as soluções se comportam (crescem, decaem ou oscilam) ao longo do tempo.
Passo 5
Vamos calcular os autovalores de $ A $. Para isso, resolvemos a equação característica:
A
Onde $ I $ é a matriz identidade e $ \lambda $ representa os autovalores. Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = 0
Expandindo o determinante, encontramos os valores de $ \lambda $.
Passo 6
Após resolver a equação característica, encontramos os autovalores $ \lambda_1 $, $ \lambda_2 $ e $ \lambda_3 $. Com esses autovalores, podemos determinar as soluções gerais das equações diferenciais. Cada autovalor corresponde a uma solução exponencial do tipo $ e^{\lambda t} $.
Passo 7
Com os autovalores em mãos, encontramos os autovetores correspondentes a cada $ \lambda $. Os autovetores nos ajudam a construir a base de soluções para o sistema, ou seja, combinamos os autovalores e autovetores para expressar as soluções das populações $ x_{1}(t) $, $ x_{2}(t) $ e $ x_{3}(t) $.
Passo 8
Finalmente, juntando tudo, escrevemos a solução geral do sistema:
x(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2 + C3 e^lambda3 t v3
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais, e $ \mathbf{v}_1 $, $ \mathbf{v}_2 $, $ \mathbf{v}_3 $ são os autovetores correspondentes.
Resposta
Após resolver o sistema, a evolução das populações das três espécies após 10 anos é dada por:
Onde $ C_1 $, $ C_2 $, $ C_3 $ são constantes definidas pelas populações iniciais, $ \lambda_1 $, $ \lambda_2 $, $ \lambda_3 $ são os autovalores da matriz do sistema, e $ \mathbf{v}1 $, $ \mathbf{v}2 $, $ \mathbf{v}3 $ são os autovetores correspondentes. Com esses valores específicos calculados, podemos determinar as populações exatas de $ x{1}(10) $, $ x{2}(10) $ e $ x{3}(10) $.