Um edifício de uma região de abalos sísmicos constantes levou os engenheiros a projetar os alicerces da base dos prédios com molas para que a estrutura possa adequar a esses movimentos repentinos. Desta forma o edifício oscila com o abalo obedecendo a seguinte função
. Os valores proporcionais de uma maquete do edifício em que o coeficiente de elasticidade da mola
e a massa da maquete do prédio é de 16kg. Determine:
A energia cinética no tempo do item anterior em Joule
A energia cinética no tempo do item anterior em Joule
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um prédio modelado que oscila de acordo com a função $ y = 10 \cdot \cos(\omega t) $. Os engenheiros usaram molas com coeficiente de elasticidade $ \kappa = 64 , N/m $ e a massa da maquete é de 16 kg. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a energia cinética desse sistema em função do tempo, medida em Joules. Para isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples, como cálculo de velocidade e energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a frequência angular $ \omega $ do sistema. Sabemos que, em um sistema massa-mola, a frequência angular é dada por:
Onde:
- $ \kappa = 64 , N/m $ é o coeficiente de elasticidade da mola.
- $ m = 16 , kg $ é a massa da maquete.
Então, substituindo os valores:
Passo 3
Agora que temos $ \omega $, podemos encontrar a velocidade $ v(t) $ do sistema. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. A função da posição é:
Derivando em relação ao tempo:
Como a energia cinética depende do quadrado da velocidade, o sinal negativo não vai afetar o resultado final.
Passo 4
A energia cinética ($ KE $) é dada pela fórmula:
Substituindo os valores que já temos:
Lembrando que o quadrado de um número negativo é positivo:
Resposta
A energia cinética do sistema em função do tempo é: