Um edifício de uma região de abalos sísmicos constantes levou os engenheiros a projetar os alicerces da base dos prédios com molas para que a estrutura possa adequar a esses movimentos repentinos. Desta forma o edifício oscila com o abalo obedecendo a seguinte função y=10 cdot cos (omega t). Os valores proporcionais de uma maquete do edifício em que o coeficiente de elasticidade da mola kappa=64 N / m e a massa da maquete do prédio é de 16kg. Determine:
A energia cinética no tempo do item anterior em Joule

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um prédio modelado que oscila de acordo com a função $ y = 10 \cdot \cos(\omega t) $. Os engenheiros usaram molas com coeficiente de elasticidade $ \kappa = 64 , N/m $ e a massa da maquete é de 16 kg. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a energia cinética desse sistema em função do tempo, medida em Joules. Para isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples, como cálculo de velocidade e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a frequência angular $ \omega $ do sistema. Sabemos que, em um sistema massa-mola, a frequência angular é dada por:
omega
Onde:
  • $ \kappa = 64 , N/m $ é o coeficiente de elasticidade da mola.
  • $ m = 16 , kg $ é a massa da maquete.
Então, substituindo os valores:
omega = raizkappam

Passo 3

Agora que temos $ \omega $, podemos encontrar a velocidade $ v(t) $ do sistema. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. A função da posição é:
omega
Derivando em relação ao tempo:
v(t)
Como a energia cinética depende do quadrado da velocidade, o sinal negativo não vai afetar o resultado final.

Passo 4

A energia cinética ($ KE $) é dada pela fórmula:
KE
Substituindo os valores que já temos:
KE = 12 cdot m cdot v(t)^2
Lembrando que o quadrado de um número negativo é positivo:
KE = 12 cdot 16 cdot (-20 cdot sin(2t))^2

Resposta

A energia cinética do sistema em função do tempo é:
KE(t) = 3200 cdot sin^2(2t) , J

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