Resolva as questões abaixo acerca da oscilação de um objeto preso em uma mola sobro uma superfície horizontal considerando não haver qualquer força dissipativa.
Qual a energia cinética do sistema quando o objeto se encontra 2,5cm abaixo do ponto médio da trajetória?
Qual a energia cinética do sistema quando o objeto se encontra 2,5cm abaixo do ponto médio da trajetória?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a oscilação de um objeto preso em uma mola numa superfície horizontal, sem considerar forças dissipativas. Basicamente, a pergunta é: Qual a energia cinética do sistema quando o objeto está 2,5 cm abaixo do ponto médio da trajetória? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética, energia potencial elástica e como elas se relacionam em um movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um sistema oscilante como esse, a energia total do sistema se conserva e é a soma da energia cinética (KE) e da energia potencial da mola (PE). A energia potencial elástica da mola é dada por:
onde:
- $ k $ é a constante da mola,
- $ x $ é o deslocamento do objeto em relação ao ponto de equilíbrio.
Passo 3
A energia cinética, por outro lado, está relacionada à velocidade do objeto. No movimento harmônico simples, a energia cinética pode ser expressa como:
onde:
- $ m $ é a massa do objeto,
- $ v $ é a velocidade do objeto.
Passo 4
Mas não precisamos calcular a velocidade diretamente. Podemos usar a conservação da energia para relacionar energia cinética e potencial. A energia total $ E $ no sistema é constante e igual à energia potencial máxima, que ocorre na amplitude máxima $ A $:
Em qualquer ponto da trajetória, temos:
Então,
Passo 5
Agora, para encontrar a energia cinética quando $ x = 2,5 $ cm, precisamos conhecer a amplitude $ A $. Porém, se a amplitude não for fornecida, podemos expressar a energia cinética em termos de $ A $. Então, substituindo $ x $ na expressão:
Aqui, converti 2,5 cm para metros, já que no SI unidades, metros são usadas.
Passo 6
Portanto, a energia cinética do sistema quando o objeto está 2,5 cm abaixo do ponto médio é:
onde:
- $ k $ é a constante da mola,
- $ A $ é a amplitude do movimento em metros.
Resposta
A energia cinética do sistema quando o objeto está 2,5 cm abaixo do ponto médio é dada por: