Resolva as questões abaixo acerca da oscilação de um objeto preso em uma mola sobro uma superfície horizontal considerando não haver qualquer força dissipativa.
Qual a energia cinética do sistema quando o objeto se encontra 2,5cm abaixo do ponto médio da trajetória?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a oscilação de um objeto preso em uma mola numa superfície horizontal, sem considerar forças dissipativas. Basicamente, a pergunta é: Qual a energia cinética do sistema quando o objeto está 2,5 cm abaixo do ponto médio da trajetória? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética, energia potencial elástica e como elas se relacionam em um movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um sistema oscilante como esse, a energia total do sistema se conserva e é a soma da energia cinética (KE) e da energia potencial da mola (PE). A energia potencial elástica da mola é dada por:
PE = 12 k x^2
onde:
  • $ k $ é a constante da mola,
  • $ x $ é o deslocamento do objeto em relação ao ponto de equilíbrio.

Passo 3

A energia cinética, por outro lado, está relacionada à velocidade do objeto. No movimento harmônico simples, a energia cinética pode ser expressa como:
KE = 12 m v^2
onde:
  • $ m $ é a massa do objeto,
  • $ v $ é a velocidade do objeto.

Passo 4

Mas não precisamos calcular a velocidade diretamente. Podemos usar a conservação da energia para relacionar energia cinética e potencial. A energia total $ E $ no sistema é constante e igual à energia potencial máxima, que ocorre na amplitude máxima $ A $:
E
Em qualquer ponto da trajetória, temos:
A
Então,
E = 12 k A^2

Passo 5

Agora, para encontrar a energia cinética quando $ x = 2,5 $ cm, precisamos conhecer a amplitude $ A $. Porém, se a amplitude não for fornecida, podemos expressar a energia cinética em termos de $ A $. Então, substituindo $ x $ na expressão:
x = 2,5
Aqui, converti 2,5 cm para metros, já que no SI unidades, metros são usadas.

Passo 6

Portanto, a energia cinética do sistema quando o objeto está 2,5 cm abaixo do ponto médio é:
KE = 12 k (A^2 - 0,000625)
onde:
  • $ k $ é a constante da mola,
  • $ A $ é a amplitude do movimento em metros.

Resposta

A energia cinética do sistema quando o objeto está 2,5 cm abaixo do ponto médio é dada por:
KE = 12 k (A^2 - 0,000625)

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