Um edifício de uma região de abalos sísmicos constantes levou os engenheiros a projetar os alicerces da base dos prédios com molas para que a estrutura possa adequar a esses movimentos repentinos. Desta forma o edifício oscila com o abalo obedecendo a seguinte função
. Os valores proporcionais de uma maquete do edifício em que o coeficiente de elasticidade da mola
e a massa da maquete do prédio é de 16kg. Determine:
A velocidade da oscilação para
A velocidade da oscilação para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um edifício que foi modelado para oscilar usando molas, simulando abalos sísmicos. A função que descreve essa oscilação é $ y = 10 \cdot \cos(\omega t)
\kappa = 64 , \mathrm{N/m}
m = 16 , \mathrm{kg} $). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade da oscilação nesse sistema quando o tempo $ t $ é igual a 2 segundos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de movimento harmônico simples, que é o tipo de movimento que estamos lidando aqui, e também fazer umas contas de derivadas para achar a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a frequência angular ($ \omega $) do sistema. A frequência angular é uma medida de quão rápido o sistema oscila e está relacionada com a massa e a constante da mola. A fórmula para calcular $ \omega $ é:
Onde:
- $ \kappa $ é a constante da mola ($ 64 , \mathrm{N/m} $)
- $ m $ é a massa ($ 16 , \mathrm{kg} $)
Vamos substituir os valores:
Então, a frequência angular é $ \omega = 2 , \mathrm{rad/s} $.
Passo 3
Agora que temos $ \omega $, podemos reescrever a função que descreve a posição do edifício ao longo do tempo:
Aqui, $ y(t) $ está em metros (assumindo que a posição está sendo medida em metros), e $ t $ está em segundos.
Passo 4
Para encontrar a velocidade da oscilação, precisamos derivar a função $ y(t) $ em relação ao tempo $ t $. A derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade:
Vamos derivar $ y(t) $:
Então, a velocidade em função do tempo é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade no instante $ t = 2 , \mathrm{s} $. Basta substituir $ t $ por 2 na equação da velocidade:
Passo 6
Vamos calcular o valor numérico de $ \sin(4) $. Lembrando que 4 está em radianos. Usando uma calculadora:
Agora, substituímos de volta:
Resposta
A velocidade da oscilação no instante $ t = 2 , \mathrm{s} $ é aproximadamente $ 15,14 , \mathrm{m/s} $.