Muitos edifícios altos possuem amortecedores de massa, cuja finalidade é evitar que os edifícios oscilem excessivamente por causa do vento. Em muitos casos, o amortecedor é um grande bloco instalado no alto do edifício, que oscila na extremidade de uma mola, movendo-se em um trilho lubrificado. Quando o edifício se inclina em uma direção (para a direita, por exemplo), o bloco se move na mesma direção, mas com certo retardo, de modo que, quando o bloco finalmente oscila para a direita, o edifício está se inclinando para a esquerda. Assim, o movimento do bloco está sempre defasado em relação ao movimento do edifício. Vamos supor que o bloco possui uma massa \mathrm{m}=2,72 \times 105 \mathrm{~kg} e que foi projetado para oscilar com uma frequência f=10,0 \mathrm{~Hz} e com uma amplitude x_{m}=20,0 \mathrm{~cm}.
(a) Qual é a energia mecânica total E do sistema massa-mola?
(b) Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado descreve um amortecedor de massa que oscila como um sistema massa-mola. Temos massa
\displaystyle m = 2{,}72\times10^{5}\,\mathrm{kg}, frequência de oscilação
\displaystyle f = 10{,}0\,\mathrm{Hz} e amplitude
\displaystyle x_{m} = 20{,}0\,\mathrm{cm} = 0{,}20\,\mathrm{m}.
Pede-se:
(a) a energia mecânica total E do sistema;
(b) a velocidade máxima do bloco ao passar pelo ponto de equilíbrio.
Para resolver, vamos usar as fórmulas do oscilador harmônico simples:
\omega = 2\pi f,
k = m\,\omega^{2},
E = \tfrac12\,k\,x_{m}^{2} e
v_{\max} = \omega\,x_{m}.

Passo 2

Calcular a frequência angular \omega e a constante elástica k.
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 10{,}0 = 20\pi \approx 62{,}83\;\mathrm{rad/s}.
k = m\,\omega^{2} = \bigl(2{,}72\times10^{5}\bigr)\times (62{,}83)^{2} \approx 1{,}07\times10^{9}\;\mathrm{N/m}.

Passo 3

Calcular a energia mecânica total E usando
E = \tfrac12\,k\,x_{m}^{2}.
Como x_{m}=0{,}20\,\mathrm{m},
E = \tfrac12 \times 1{,}07\times10^{9}\times (0{,}20)^{2} \approx 2{,}15\times10^{7}\;\mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a velocidade máxima v_{\max} ao passar pelo ponto de equilíbrio:
v_{\max} = \omega\,x_{m} = 62{,}83 \times 0{,}20 \approx 12{,}6\;\mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \displaystyle E\approx 2{,}15\times10^{7}\;\mathrm{J}.
(b) \displaystyle v_{\max}\approx 12{,}6\;\mathrm{m/s}.

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