Q8: Sejam O e O^{\prime} dois referenciais na configuração padrão. Uma vara no referencial O^{\prime} faz um ângulo \theta^{\prime} com respeito à direção de movimento. Demonstre que o valor do ângulo \theta medido em O é dado por \operatorname{ctg} \theta=\sqrt{1-v^{2} / c^{2}} \operatorname{ctg}\left(\theta^{\prime}\right).
Referencial O^{\prime} de desloca com velocidade \vec{v} relativo ao referencial O. Atira-se uma bala no referencial O^{\prime}, com velocidade v^{\prime} e num ângulo \theta^{\prime} com respeito à direção de movimento. Demonstre que o valor do ângulo \theta medido em O é dado por
\operatorname{tg} \theta=\frac{\operatorname{tg} \theta^{\prime} \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}{1+v / v_{x}^{\prime}}
Qual a forma dessa fórmula se a bala for um fóton?

Passo 1

O enunciado trata da transformação de ângulos entre dois referenciais inerciais O e O' em configuração padrão, movendo-se O' com velocidade \vec v relativa a O. Primeiro queremos mostrar que, para uma vara em repouso em O' formando ângulo \theta' com a direção do movimento, o ângulo medido em O satisfaz
\cot\theta = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\;\cot\theta'\,.
Depois, para uma bala lançada em O' com velocidade v' em ângulo \theta', usamos as fórmulas de adição de velocidades para obter
\tan\theta = \frac{\tan\theta'\,\sqrt{1-v^2/c^2}}{1 + v/v'_x}\,.
Por fim, perguntam qual é a forma dessa relação quando a “bala” é um fóton ( v'=c).

Passo 2

Para a vara em O' tomamos seu comprimento próprio L' e decompomos em componentes paralela e perpendicular a \vec v:
L'_\parallel = L'\cos\theta', \quad L'_\perp = L'\sin\theta'.
Em O, a componente paralela sofre contração de Lorentz
L_\parallel = \frac{L'_\parallel}{\gamma} = L'\cos\theta'\,\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},
enquanto a perpendicular permanece L_\perp = L'_\perp. Assim
\tan\theta = \frac{L_\perp}{L_\parallel} = \frac{L'\sin\theta'}{L'\cos\theta'\,\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{\tan\theta'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
Invertendo, obtemos
\cot\theta = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\;\cot\theta'.

Passo 3

Para a bala, em O' suas componentes são
v'_x = v'\cos\theta', \quad v'_y = v'\sin\theta'.
Em O, pela adição relativística:
v_x = \frac{v'_x + v}{1 + \frac{v\,v'_x}{c^2}}, \qquad v_y = \frac{v'_y}{\gamma\bigl(1 + \frac{v\,v'_x}{c^2}\bigr)} = \frac{v'\sin\theta'}{\sqrt{1-v^2/c^2}\,\bigl(1 + \frac{v\,v'_x}{c^2}\bigr)}.

Passo 4

O ângulo \theta em O satisfaz
\tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{\displaystyle \frac{v'\sin\theta'}{\sqrt{1-v^2/c^2}\,(1 + \frac{v\,v'_x}{c^2})}} {\displaystyle \frac{v'_x + v}{1 + \frac{v\,v'_x}{c^2}}} = \frac{v'\sin\theta'}{\sqrt{1-v^2/c^2}\,\bigl(v'_x+v\bigr)}.
Usando v'_x=v'\cos\theta' e \tan\theta'=\tfrac{\sin\theta'}{\cos\theta'} chega-se a
\tan\theta = \frac{\tan\theta'\,\sqrt{1-v^2/c^2}}{1 + \dfrac{v}{v'_x}}.

Passo 5

Se a bala for um fóton, então v'=c e v'_x=c\cos\theta'. Substituindo em
\tan\theta = \dfrac{\tan\theta'\,\sqrt{1-v^2/c^2}}{1 + v/v'_x} obtemos
\tan\theta = \frac{\tan\theta'\,\sqrt{1-\beta^2}}{1 + \dfrac{\beta}{\cos\theta'}} \quad\text{com}\quad \beta=\frac{v}{c},
que também se pode escrever de modo equivalente como fórmula de aberração:
\tan\theta = \frac{\sin\theta'\,\sqrt{1-\beta^2}}{\cos\theta' + \beta}.

Resposta

Para a vara:
\boxed{\cot\theta = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\;\cot\theta'.}
Para a bala genérica:
\boxed{\tan\theta = \frac{\tan\theta'\,\sqrt{1-v^2/c^2}}{1 + v/v'_x}.}
Para o fóton ( v'=c):
\boxed{\tan\theta = \frac{\tan\theta'\,\sqrt{1-\beta^2}}{1 + \dfrac{\beta}{\cos\theta'}} \quad\text{ou}\quad \boxed{\tan\theta = \frac{\sin\theta'\,\sqrt{1-\beta^2}}{\cos\theta' + \beta}}\,.}

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