Q8: Sejam O e
dois referenciais na configuração padrão. Uma vara no referencial
faz um ângulo
com respeito à direção de movimento. Demonstre que o valor do ângulo
medido em
é dado por
.
Referencial
de desloca com velocidade
relativo ao referencial
. Atira-se uma bala no referencial
, com velocidade
e num ângulo
com respeito à direção de movimento. Demonstre que o valor do ângulo
medido em
é dado por
Qual a forma dessa fórmula se a bala for um fóton?
Referencial
Passo 1
O enunciado trata da transformação de ângulos entre dois referenciais inerciais
e
em configuração padrão, movendo-se
com velocidade
relativa a
. Primeiro queremos mostrar que, para uma vara em repouso em
formando ângulo
com a direção do movimento, o ângulo medido em
satisfaz
Depois, para uma bala lançada em
com velocidade
em ângulo
, usamos as fórmulas de adição de velocidades para obter
Por fim, perguntam qual é a forma dessa relação quando a “bala” é um fóton (
).
Passo 2
Para a vara em
tomamos seu comprimento próprio
e decompomos em componentes paralela e perpendicular a
:
Em
, a componente paralela sofre contração de Lorentz
enquanto a perpendicular permanece
. Assim
Invertendo, obtemos
Passo 3
Para a bala, em
suas componentes são
Em
, pela adição relativística:
Passo 4
O ângulo
em
satisfaz
Usando
e
chega-se a
Passo 5
Se a bala for um fóton, então
e
. Substituindo em
obtemos
que também se pode escrever de modo equivalente como fórmula de aberração:
Resposta
Para a vara:
Para a bala genérica:
Para o fóton (
):